回代过程二、选主元消去法.ppt

第二章 求解线性方程组的数值解法 列主元消去法 在第k步消元前，在系数矩阵第k列的对角线以下的元素中找出绝对值最大的元。 ? 运算量 （Amount of Computation） （1）用克莱姆（Cramer）法则求解n阶线性方程组 （2） 高斯消去法: 在第1个消去步， 计算li1(i=2,3，…，n)， 有n-1次除法运算. 使aij(1)变为 aij(2) 以及使bi(1)变为bi(2)有n(n-1)次乘法运算和 n(n-1)次加(减)法运算. 回代过程的计算 除法运算次数为n次. 乘法运算和加法运算的总次数都为n+(n-1)+…+1=n(n-1)/2次 §2.1.2 三角分解法 一般计算公式 LU 分解求解线性方程组 §2.1.4 求解正定方程组的Cholesky方法 回顾：对称正定阵A的几个重要性质 （1）A?1 亦对称正定，且 aii 0 （2）A 的顺序主子阵 Ak 亦对称正定 （3）A 的特征值 ?i 0 （4）A 的全部顺序主子式 det ( Ak ) 0 定理2.1.6 设矩阵A对称正定，则存在唯一的对角元全为正的下三角阵G 使得 A＝GGT §2.1.5 求解三对角方程组的追赶法 * 解线性方程组的两类方法: 直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差!) 迭代法：从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法(一般有限步内得不到精确解) §2.1 解线性方程组的直接法 一、高斯消去法 思路 首先将方程组Ax=b 化为上三角方程组，此过程称为消去过程，再求解上三角方程组，此过程称为回代过程. §2.1.1 高斯消去法和选主元高斯消去法 将增广矩阵的第 i 行 + li1 ? 第1行，得到： 消去过程： 第一步：设 ，计算因子 其中 第k步：设 ，计算因子 且计算 共进行 n ? 1步，得到 定理：若A的所有顺序主子式 均不为0，则高斯消去法能顺序进行消元，得到唯一解。 回代过程： 二、 选主元消去法 为避免这种情况的发生, 可通过交换方程的次序，选取 绝对值大的元素作主元. 基于这种思想导出了主元素法 在高斯消去法消去过程中可能出现 的情况，这时 高斯消去法将无法进行；即使主因素 但很小， 其作除数 ，也会导致其它元素数量级的严重增长和舍 误差的扩散 若p≠k，交换第k个与第p个方程后，再继续消去计算. 这种方法称为列主元Gauss消去法。 列主元Gauss消去法保证了｜lik｜≤1 (i=k+1,k+2,…，n). 全主元消去法 在第k步消去前， 在系数矩阵右下角的n-k+1阶主子阵中，选绝对值最大的元素作为主元素。 (1) If p ? k then 交换第 k 行与第p行; If q ? k then 交换第 k 列与第 q 列; (2) 消元 注：列交换改变了 xi 的顺序，须记录交换次序，解完后再换回来。 每个行列式由n!项相加，而每项包含了n个因子相乘，乘法运算次数为(n-1)n !次. 仅考虑乘(除)法运算,计算解向量包括计算n+1个行列式和n次除法运算,乘(除)法运算次数N=(n+1)(n-1)n!+n. 在第k个消去步，有n-k次除法运算、(n-k+1)(n-k)次 乘法运算和相同的加(减)法运算. 首先统计乘法运算总次数. 将每个消去步的乘法运算次数相加， 有 n(n-1)+(n-1)(n-2)+…+3.2+2.1=n(n-1)(n+1)/3 加(减)法运算次数总计也为n(n-1)(n+1)/3. 除法运算总次数为n+(n-1)+…+1=n(n-1)/2 Gauss消去法 除法运算次数为:n(n-1)/2+n=n(n+1)/2， 乘法运算次数为: n(n-1)(n+1)/3+n(n-1)/2=n(n-1)(2n+5)/6，  加(减)法运算次数为:n(n-1)(2n+5)/6 通常也说Gauss消去法的运算次数与n3同阶，记为O(n3) 全主远消去法: 比 高斯消去法多出 　 比较，保证稳定，但费时。 列主元消去法: 比 高斯消去法只多出 的　 比较，略省时。 ? 高斯消元法的矩阵形式 每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk A 的 LU 分解 ( LU factorization ) 定理2.1.4： 若A的所有顺序主子式 均不为0，则 A 的 LU 分解唯一（其中 L 为单位下三角阵）。 证明：由§1中定理可知，LU 分解存在。下面证明唯一性。 若不唯一，则可设 A = L1U1 = L2U2