《2016届高三数学理科摸底试题参考答案和评分标准》.doc

2012届高三数学摸底试题（理）答案 一、选择题： DABDB CDA 二、填空题：9. , 10. 16, 11. 10, 12. ②③④. 13. 14. (－∞，0)6小题，满分80分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分12分) 已知函数, (1) 求函数的最小正周期及最小值； (2) 求函数的单调递增区间； 解:(1)∵f(x)= 2cos2x-2sinxcosx-=(cos2x+1)-sin2x-………2分=2cos(2x+)…4分………6分时，即函数有最小值 ………8分 ………10分………12分 的单调递增区间为 ………12分解：()?周销售量为2千件,3千件和4千件的频率分别为0.2,0.5和0.3. ………(2)的可能值为8,10,12,14,16,且…………………………………………… P（=8）=0.22=0.04,P（=10）=2×0.2×0.5=0.2, P（=12）=0.52+2×0.2×0.3=0.37,P（=14）=2×0.5×0.3=0.3,P（=16）=0.32=0.09. 的分布列为 8 10 12 14 16 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 =8×0.04+10×0.2+12×0.37+14×0.3+16×0.09=12.4（千元）…………… 17．(本小题满分14分) 如图，在直三棱柱中，，，点、分别是、的中点. （1）求证：平面；平面 （3）求与平面所成角的正切值； （1）证明：在矩形中， 由 得是平行四边形。 所以， …………………2分 又平面，平面， 所以平面…………………3分 （2）证明：直三棱柱中，， ，， 所以平面， 而平面， 所以。…………………6分 在矩形中，，从而， 所以， …………………8分 又， 所以平面， …………………9分 而平面， 所以平面平面 …………………10分 （3）由（2）可知平面平面，所以，斜线在平面的射影在上，为所求 …………………12分 又由（2）可知，所以平面，所以， 所以，三角形是直角三角形， 所以所求值为……14分 另解：以为原点，，,为,，轴建立直角坐标系 则 ,,, 则 设平面的法向量为 由得 由 得 由以上两式解得 …………………………12分 设与夹角的为，则 ， 所以，所以所求值为……………………………………14分 18.(本小题满分14分) 某出版社新出版一本高考复习用书，该书的成本为5元/本，经销过程中每本书需付给代理商m元（1≤m≤3）元/本（9≤≤11），预计一年的销售量为万本． （Ⅰ）求该出版社一年的利润（万元）与每本书的定价的函数关系式； （Ⅱ）当每本书的定价为多少元时，该出版社一年的利润最大，并求出的最大值 解：（Ⅰ）该出版社一年的利润（万元）与每本书定价的函数关系式为： ．……………………4分（定义域不写扣1分） （Ⅱ） ．…………………………6分 令得或x=20（不合题意，舍去）．…………7分 ， ． 在两侧的值由正变负． 所以（1）当即时， ．……9分 （2）当即时， ，…………………………11分 所以 答：若，则当每本书定价为元时，出版社一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每本书定价为11元时，出版社一年的利润最大，最大值（万元）．…………………………14分 (本小题满分14分) 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为的直线过点. （1）求该椭圆的方程； （2）设椭圆的另一个焦点为，问抛物线上是否存在一点，使得与关于直线对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由. 解：（1）抛物线的焦点为，准线方程为，…………………2分 ∴ ① …………………3分 又椭圆截抛物线的准线所得弦长为， ∴ 得上交点为， ∴ ②…………………4分 由①代入②得，解得或（舍去）， 从而 …………………6分 ∴ 该椭圆的方程为该椭圆的方程为 …………………7分 （2）∵ 倾斜角为的直线过点， ∴ 直线的方程为，即，…………………8分 由（1）知椭圆的另一个焦点为，设与关于直线对称， …………………9分 则得 …………………10分 解得，即 …………………11分 又满足，故点在抛物线上。 …………………13分 所以抛物线上存在一点，使得与关于直线对称。……14分 (本小题满分14分) 已知数列,, （）的通项公式 （）时,求证: （）满足： 求证： 解: ,两边加得: ,