线性代数复习题.ppt

* * 第一章到第五章：复 习 要 点 第一章 逆序数的计算、行列式的性质及计算； 第二章 解矩阵方程、伴随矩阵的性质、用矩阵的初等 变换解题； 第三章 向量的线性相关性讨论、矩阵及向量组的秩 的讨论、求向量组的秩和最大无关组； 第四章 带参数的非齐次线性方程组解的讨论、 齐次或非齐次解的结构的讨论； 第五章 方阵的特征值及特征向量的讨论、用正交 矩阵化实对称阵为对角阵（或用正交变换 化二次型为标准形）、正定性判别。 线性代数中的 “一、二、三、四、五、六” 一种基本运算： 矩阵的初等变换。 两大主线： 向量与矩阵。 三种矩阵关系： 等价、相似、合同。 四个难点： 1. 矩阵和向量组的秩; 2. 伴随矩阵； 3. 相似变换; 4. 特征值和特征向量的讨论. 五大板块： 行列式、矩阵、向量、方程组、二次型 。 六个重要知识点： 1. 行列式的性质与计算; 2. 矩阵可逆的各种等价条件; 3. 矩阵秩与向量组的秩的讨论; 4. 向量组的相关性讨论; 5. 线性方程组的解的讨论; 6. 二次型化简（或对称阵化 为对角阵）。 一、填空 1、6 阶行列式中项 的符号为 。 + 2、已知向量组 线性相关。则t= 。 3 3、设A，B同为 n 阶矩阵， 。 4、设 = 。 5、设向量组 等价，且 线性无关，则 r 与 t 间满足 。 。 7、设A是3阶矩阵，其特征值为1，-1，2，则 A2+3A-2E的特征值为 。 2，- 4，8 9、若二次型 是正定的，则t的取值范围是 。 10、若n阶可逆矩阵 A的每行元素之和均为a, 则数 一 定是矩阵 的特征值。 . 8、设 则矩阵A的秩R(A)= 05年考研题 . 2 例 1 04年考研题 . 1/9 例 2 解 例3 设 An 为 n 阶行列式, 证明 A1 ,A2，…， An ,… 是一 个等差数列，并由此求出 An . 即 所以等差数列的首项为2，公差为1，由此可得 证 例 4 □ 5 设有方程组 问λ为何值时，该方程组有唯一解，无解，无穷多个 解？并在有无穷多个解时求其通解。 解 增广矩阵 当λ= 4时， 因为R(A)=R(B)=2，故此时有无穷多个解。 同解方 程组为： 通解 为： 故当λ≠4且λ≠－1时，方程组有唯一解。 当λ= －1时， 因为R(A)=2，而R(B)=3，故此时无解。 综上： □ 6 1）设 是其伴随矩阵，计算 解 1） 故向量组的秩 解2） 为3，且 为一个最大无关组 2）求向量组 的秩和一个最大无关组且将其余向量用此最大无关 组线性表示。 7 设 证明 与 有相同的秩。 证 只要证 与 等价。 一方面由题设 可由 线性 表示，另方面将题中等式全部加起来，得 故 也可由 线性表示， 从而 与 等价。 □ 再分别用（*）减去题中每一个等式，可得 7 设 证明 与 有相同的秩。 证：由题设 线性无关，而 线性相关，从而 线性表示。故可设 现设 8 设向量组 的秩皆为3，向量组 的秩为 4。 线性无关。 与 试证，向量组 即 线性无关。 □ 由 线性无关，知 9. 设　　　　　　　 为线性方程组　　　　 的 一个基础解系， 其中　　 为实常数。试问　　　满足什么关系时， 也为 的一个基础解系。 （2001年考研题 ） 解　由于 为 的线性 组合，所以 均为 的解。 设 （１） 由于　　　　　　　线性无关，因此有 所以当 当s为奇数， 时，方程组只有零解 ，即当s为偶数， 从而 线性无关。 此时， 也为方程组的一个基础解系。 □ 例10 *