2025年高考数学高考数学二轮重难题型攻略(新高考通用)专题03三次函数的图像与性质(4大题型)(原卷版+解析).docx
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专题03三次函数的图像与性质
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TOC\o1-1\h\u题型01三次函数的零点 1
题型02三次函数的极值、极值点 2
题型03三次函数的切线 4
题型04三次函数的对称性 5
题型01三次函数的零点
【解题规律·提分快招】
一、三次函数概念
定义：形如fx=
fx=
当Δ0时，令f
二、三次函数的零点个数
若三次函数fx
性质
三次函数图像
说明
a
a
零点个数
三个
b
f
两个极值异与
图像与x轴有三个交点
两个
b
f
有一个极值为0
图像与x轴有两个交点
存在极值时
一个
b
f
不存在极值时，
函数单调，与x轴有一个交点
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·辽宁·期中）已知函数的三个零点分别为，，，若函数满足，则的取值范围为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知函数，则（????）
A． B．若，则的极大值点为
C．若至少有两个零点，则 D．在区间上单调递增
3．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知三次函数有三个不同的零点，函数也有三个零点，则（????）
A．
B．若成等差数列，则
C．
D．
三、填空题
4．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知若函数有两个零点，则的取值范围为
5．（0分）（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，若方程有且仅有两不等实根，则实数的取值范围是.
题型02三次函数的极值、极值点
【解题规律·提分快招】
一、三次函数的图像及单调性
注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！
系数关系式
fx
f
fx
a
f
fx在R
fx
a
f
fx在R
fx
a
增区间?∞，
减区间x
fx
极大值fx1
a
增区间x
减区间?∞，
fx
极大值fx2
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·四川泸州·一模）已知函数在处取得极大值，则的值是（???）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（???）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知函数，是的导函数，则下列说法错误的是（???）
A．“”是“为奇函数”的充要条件
B．“”是“为增函数”的充要条件
C．若不等式的解集为且，则的极小值为
D．若、是方程的两个不同的根，且，则或
二、多选题
4．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知函数，2为的极大值点，则下列结论正确的有（????）
A．
B．若4为函数的极小值点，则
C．若在内有最小值，则的取值范围是
D．若有三个互不相等的实数解，则的取值范围是
5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知三次函数，则（???）
A．函数一定有两个极值点 B．当时，
C．当时，的极小值为0 D．在区间上的值域为
三、填空题
6．（0分）（24-25高三上·四川攀枝花·阶段练习）已知函数两个极值点分别为椭圆与双曲线的离心率，则实数的取值范围是.
题型03三次函数的切线
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）若过点可作曲线三条切线，则（????）
A． B．
C．或 D．
二、多选题
2．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知函数，则（????）
A．时，是的极大值点
B．若存在三个零点，则
C．当时，过点可以作的切线，有且只有一条
D．存在，使得
3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知函数，则（???）
A．时，若有3个零点，则实数的取值范围是
B．时，过可作函数的切线有两条
C．若直线与曲线有3个不同的交点，，，且，则
D．若存在极值点，且，其中，则
4．（24-25高三上·浙江·开学考试）三次函数叙述正确的是（????）
A．函数可能只有一个极值点
B．当时，函数的图象关于点中心对称
C．当时，过点的切线可能有一条或者两条
D．当时，在点处的切线与函数的图象有且仅有两个交点
三、填空题
5．（23-24高三上·四川内江·期末）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是．
题型04三次函数的对称性
【解题规律·提分快招】
一、三次函数的韦达定理
设fx=a
(1)x
(2)x
(3)x
(4)1
二、三次函数的对称性
结论1三次函数fx=ax3
结论2已知三次函数fx=ax3+
结论3若y=fx图像关于点m，n
点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数
【典例训