二阶微分方程边值问题解的等价性及其格林函数.docx

二阶微分方程边值问题解的等价性及其格林函数胡秀林（合肥学院数学与物理系，合肥２３０６０１）摘要：利用常数变易法，构建了二阶非齐次微分方程－ｕ″（ｔ）＋ρ（）（，（）），这两种情形下及相应边值条件下的格林函数，并给出了其等价的积分方程．关键词：微分方程；边值问题；格林函数２ｕｔ＝ｆｔｕｔｔ∈Ｊ＝０＞０，在ρ和ρ中图分类号：Ｏ１７５．８文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－１６２Ｘ（２０１４）０４－０００７－０３ＥｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｏｆＳｏｌｕｔｉｏｎｓａｎｄＧｒｅｅｎＦｕｎｃｔｉｏｎｓｔｏＢｏｕｎｄａｒｙＶａｌｕｅＰｒｏｂｌｅｍｏｆＳｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓＨＵＸｉｕ－ｌｉｎ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＰｈｙｓｉｃｓ，ＨｅｆｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｆｅｉ２３０６０１，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｔｉｌｉｚｉｎｇｔｈｅｖａｒｉａｔｉｏｎｏｆｃｏｎｓｔａｎｔｓ，ｕｎｄｅｒｔｈｅｃａｓｅｓρ＝０ａｎｄρ＞０，Ｇｒｅｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓｔｏｔｈｅｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ－ｕ″（ｔ）＋ρｕ（ｔ）＝ｆ（ｔ，ｕ（ｔ））ｔ∈Ｊｗｉｔｈ２ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｒｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ，ａｎｄｔｈｅｎｔｈｅｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｉｓｇｉｖｅｎｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｂｏｕｎｄａｒｙｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍ；Ｇｒｅｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓ众所周知，许多数学和物理问题都归结为微分方程的两点边值问题．在实际问题中，两点边值问题经常无法得到准确的结果．因此，在微分方程边值问题的研究中，边值问题解的等价性起着非常重要的作用，通常需要将所考虑的边值问题转化为与其等价的积分方程．而其转化的关键是如何构建微分方程边值问题的格林函数．［１－４］为此，本文研究了如下一类连续情形下二阶非齐次微分方程－ｕ″（ｔ）＋ρｕ（ｔ）＝ｆ（ｔ，ｕ（ｔ））ｔ∈Ｊ２（１）在ρ＝０及ρ＞０这两种情形下的两点边值问题解的等价性问题，并给出了相应的格林函数，其中，Ｊ＝［０，Ｔ］，ｆ∈Ｃ（Ｊ×Ｒ，Ｒ）．ρ＝０情形下解的等价性考虑二阶非齐次微分方程（１）在边值条件ｕ（０）＝ｕ（Ｔ）＝λ下的解的等价性，其中ρ＝０，λ为常数．１（２）定理１若ｕ（ｔ）∈Ｃ２（Ｊ）是二阶边值问题（１）（２）在ρ＝０时的解，则Ｔｕ（ｔ）＝∫Ｇ（ｔ，ｓ）ｆ（ｓ，ｕ（ｓ））ｄｓｔ∈Ｊ，（３）０其中烄ｓ（Ｔ－ｔ），０≤ｓ≤ｔ≤Ｔ；ＴＧ（ｔ，ｓ）＝烅ｔ（Ｔ－ｓ），０≤ｔ≤ｓ≤Ｔ烆Ｔ收稿日期：２０１４－０５－０８修回日期：２０１４－０９－１６作者简介：胡秀林（１９８１－），女，安徽太湖人，合肥学院数学与物理系讲师．８合肥学院学报（自然科学版）第２４卷是边值问题（１）、（２）的格林函数．反之，若ｕ（ｔ）∈Ｃ２（Ｊ）满足方程（３），则ｕ（ｔ）也满足二阶周期边值问题（１）、（２）．证明：假设ｕ（ｔ）∈Ｃ２（Ｊ）是二阶边值问题（１）、（２）在ρ＝０时的解，下证ｕ（ｔ）满足方程（３）．直接计算，初值问题－ｕ″１（ｔ）＝０，｛ｕ１（０）＝１，ｕ′１（０）＝０，及－ｕ″２（ｔ）＝０，｛ｕ２（０）＝０，ｕ′２（０）＝１，的解分别为ｕ１（ｔ）＝１，ｕ２（ｔ）＝ｔ，且ｕ１（ｔ），ｕ２（ｔ）的朗斯基行列式Ｗ（ｔ）＝１≠０．故由高阶非齐次线性微分方程的常数变易公式知方程（１）的通解为ｔｕ２（ｔ）ｕ１（ｓ）－ｕ１（ｔ）ｕ２（ｓ）ｕ（ｔ）＝ｃ１ｕ１（ｔ）＋ｃ２ｕ２（ｔ）－∫ｆ（ｓ，ｕ（ｓ））ｄｓ＝Ｗ（）ｓ０ｔｃ１＋ｃ２ｔ－∫０ｔ－ｓｆｓｕｓ（）（，（））ｄｓ．代入边值条件（３），直接计算，可得，ｃ１＝λ，ｃ２＝１０（ｔ－ｓ）ｆ（ｓ，ｕ（ｓ））ｄｓ．故边值问题（１）、（２）的解为∫ＴＴＴｔｕ（ｔ）＝λ＋ｔ（Ｔ－ｓ）ｆ（ｓ，ｕ（ｓ））ｄｓ－（ｔ－ｓ）ｆ（ｓ，ｕ（ｓ））ｄｓ＝Ｔ∫０∫０ｔｔ（Ｔｔ（ｔ（λ＋∫０ＴＴ－ｓｆｓｕｓｄｓ＋∫ｔＴＴ－ｓｆｓｕｓｄｓ－∫０ｔ－ｓｆｓｕｓｄｓ＝）（，（）））（，（）））（，（））ｔｓ（Ｔｔ（）（，（）））（，（））λ＋∫０ＴＴ－ｔｆｓｕｓｄｓ＋∫ｔＴＴ－ｓｆｓｕｓｄｓ＝ＴＧ（，）（，（）），λ＋∫０ｔｓｆｓｕｓｄｓ其中烄ｓ（Ｔ－ｔ），０≤ｓ≤ｔ≤Ｔ；ＴＧ（ｔ，ｓ）＝烅ｔ（Ｔ－ｓ），０≤ｔ≤ｓ≤Ｔ烆Ｔ是边值问题（１）、（２）的格林函数．反之，若ｕ（ｔ）∈Ｃ２（Ｊ）满足方程（３），即ｔｓＴｔｕ（ｔ）＝λ＋∫Ｔ（Ｔ－ｔ）ｆ（ｓ，ｕ（ｓ））ｄｓ＋（Ｔ－ｓ）ｆ（ｓ，ｕ（ｓ））ｄｓ，∫ｔＴ０则ｕ′（ｔ）＝－１０ｓｆ（ｓ，ｕ（ｓ））ｄｓ＋∫ｔｆ（ｓ，ｕ（ｓ））ｄｓ，从而ｕ″