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罗尔定理在微分方程边值问题中的应用

陈鑫

【摘要】以一个变系数的4阶线性齐次微分方程的边值问题为例,根据所给边界条

件在不同的区间上多次使用罗尔定理证明所给区间内有多个零点,再运用数学归纳

法证明该方程只有零解.对于已知边界条件个数多于方程阶数的线性齐次微分方程

的边值问题,给出了只有零解的一般性结论.最后,将罗尔定理推广至n阶导数的情形,

亦可得到类似的结论,进而,该方法可应用于讨论类似的n阶(n≥2)变系数线性齐次

微分方程的边值问题.应用罗尔定理讨论线性齐次微分方程边值问题的解,拓宽了微

分中值定理的应用范围.%Afourth-orderlinearhomogeneousODEwith

variablecoefficientsisconsideredasanexampleandRollestheoremis

appliedmanytimesindifferentintervalsaccordingtodifferentboundary

conditions.Theconclusionthattherearemorethanonenullpointsinthe

givenintervalcombinedwiththemathematicalinductionprovesthatthe

ODEhasonlyzerosolution.Afurtherconclusionisthatthelinear

homogeneousODEonlyhastrivialsolutionifithasmorehomogenous

boundaryconditionsthanitsorder.FinallytheextensionofRollestheorem

tothenthderivativeispresented,whichcanbeusedtodealwiththe

similarnth-orderlinearhomogeneousODEswithvariablecoefficients

(n≥2).AnotherapplicationofRollestheoreminboundary-valueproblem

ofODEsmakestheapplicationrangeofthedifferentialmeanvalue

theoremsmorewide.

【期刊名称】《沈阳师范大学学报（自然科学版）》

【年(卷),期】2017(035)003

【总页数】3页(P353-355)

【关键词】罗尔定理;变系数;微分方程;边值问题;数学归纳法

【作者】陈鑫

【作者单位】北京信息科技大学理学院,北京100192

【正文语种】中文

【中图分类】G642

微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,它们是微分

学中非常重要的基本定理,是导数应用的桥梁[1-2]。对于微分中值定理的探讨,主要

集中在定理的证明方法、结论的应用以及推广上[3-8]。微分中值定理被广泛应用

于求极限、研究函数性态、证明恒等式和不等式、判定代数方程根的个数等方面。

本文将以一个变系数的4阶线性齐次微分方程的边值问题为例,应用罗尔定理讨论

其解的情况,即证明该类微分方程只有零解,并给出一个一般性的结论。这是罗尔定

理在讨论具有变系数的线性齐次微分方程解的方面的应用,并且可以推广至n阶情

形。

在研究偏微分方程的特征值问题时,通常需要求解常系数或变系数的线性齐次微分

方程[9],有时会遇到齐次边界条件的个数大于方程的阶数的情形。

如果线性微分方程是常系数的,例如

可以写出其通解

将边值条件代入y(x),y′(x),y″y(x)和‴(x)中,得到关于C1,C2,C3和C4的四元线性齐

次方程组

C1+C2+C3+C4=0

C1-C2+iC3-iC4=0

根据线性齐次方程组解的性质可知

C1=C2=C3=C4=0

从而y(x)≡0。

但如果方程是变系数的,则很难写出通解形式,例如,考虑变系数的4阶线性齐次微分

方程的边值问题:

其中:常数λ≠0;0u(x)∈C4[0,1];0v(x)∈C4[0,1]。

可以应用罗尔定理证明该方程只有零解,即y(x)≡0。

因为y(0)=y(1)=0,所以由罗尔定理可知,至少存在1点ξ1∈(0,1),使