2025年高考数学必刷题分类：第65讲、双曲线及其性质（教师版）.pdf

第讲双曲线及其性质

65

知识梳理

知识点一：双曲线的定义

平面内与两个定点F,F的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于FF）的点的轨

1212

．．．．．

迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为

MMFMF2a(02aFF)

1212

．

注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．

2aFFFF

（2）当12时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当2a0时，点的轨

12

迹是线段FF的垂直平分线．

12

（3）2aFF时，点的轨迹不存在．

12

在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：

FF2a22

①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的

ab

12

值），注意222的应用．

abc

知识点二：双曲线的方程、图形及性质

双曲线的方程、图形及性质

2222

xyyx

标准方程221(a0,b0)221(a0,b0)

abab

图形

A2

F(c,0)F(c,0)F(0,c)F(0,c)

焦点坐标1，21，2

xy

对称性关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称

A(a,0)A(a,0)A(0,a)A(0,a)

顶点坐标1，21，2

范围xaya

实轴、虚轴实轴长为，虚轴长为

2a2b

cb2

离心率