2025年高考数学必刷题分类：第65讲、双曲线及其性质（教师版）.docx
第65讲双曲线及其性质
知识梳理
知识点一：双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．
（3）时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
=1\*GB3①条件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．
知识点二：双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质
标准方程
图形
A2
A2
焦点坐标
，
，
对称性
关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
，
，
范围
实轴、虚轴
实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程
令，
焦点到渐近线的距离为
令，
焦点到渐近线的距离为
点和双曲线
的位置关系
共焦点的双曲线方程
共渐近线的双曲线方程
切线方程
为切点
为切点
切线方程
对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．
切点弦所在直线方程
为双曲线外一点
为双曲线外一点
点为双曲线与两渐近线之间的点
弦长公式
设直线与双曲线两交点为，，．
则弦长，
，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．
通径
通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
焦点三角形
双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，
设，，，则，
，
焦点三角形中一般要用到的关系是
等轴双曲线
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．
【解题方法总结】
（1）双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．
（2）点与双曲线的位置关系
对于双曲线，点在双曲线内部，等价于．
点在双曲线外部，等价于结合线性规划的知识点来分析．
（3）双曲线常考性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数；
性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
（5）双曲线的切线
点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为
必考题型全归纳
题型一：双曲线的定义与标准方程
例1．（2024·全国·模拟预测）已知，分别是离心率为2的双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的左?右两支分别交于点，，且，，则的标准方程为.
【答案】
【解析】
由题意知，∴，由双曲线的定义知，，
则，∴，，∴，∴的标准方程为.
故答案为：.
例2．（2024·山东临沂·高二校考期末）已知双曲线：（，），矩形的四个顶点在上，，的中点为的两个焦点，且，则双曲线的标准方程是．
【答案】
【解析】由题意得，．如图所示，设，的中点分别为，，
在中，，故．
由双曲线的定义可得，
则，又，所以，．
所以双曲线的标准方程是．
故答案为：.
例3．（2024·高二课时练习）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为．
【答案】
【解析】根据题意可知椭圆方程中的a=13，
∵=
∴c=5
根据双曲线的定义可知曲线C2为双曲线，其中半焦距为5，实轴长为8
∴虚轴长为6
∴双曲线方程为
变式1．（2024·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）渐近线方程为且经过点的双曲线标准方程为．
【答案】
【解析】设渐近线方程为且经过点的双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，
所以，所求双曲线的方程为，其标准方程为.
故答案为：.
变式2．（2024·辽宁朝阳·高二校联考阶段练习）若双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线C的标准方程是．
【答案】
【解析】由双曲线C与双曲线有相同的渐近线，
可设双曲线C的方程为，又C过点，
所以，，
整理得双曲线C的标准方程是．
故答案为：
变式3．（2024·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期中）双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是．
【答案】
【解析】设双曲线的方程为，
由题意可得：，解得，
所以双曲线的标准方程是.
故答案为：.
变式4．（2024·全国·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，M是双曲线C的右支上一点，双曲线C的焦点到渐近线的距离为3，与的夹角为，，则双曲线C的标准方程为.
【答案】
【解析】∵