山东省招远市第二中学高一数学《31函数与方程》导学案（www.ks5u.com2014高考）.doc

1．函数零点的概念 对于函数y＝f(x) (x∈D)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．注意以下两点： (1)方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点． (2)函数零点的求法： 代数法：求方程f(x)＝0的实数根； 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 2．函数零点的判断 一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理． 对函数零点存在性定理的理解 (1)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝. (2)函数y＝f(x)如果满足：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，②f(a)·f(b)0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点． (3)对于有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然函数值没有变号．但是，对于任意一个函数，相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号． (4)函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且在区间(a，b)上单调，若f(a)·f(b)0，则函数y＝f(x)在(a，b)内有且只有一个零点． 但要注意：如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f(a)·f(b)0. 3．二分法 所谓二分法，就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法． 用二分法求函数零点近似值的注意点 (1)在第一步中要使： ①区间[a，b]的长度尽量小； ②f(a)、f(b)的值比较容易计算，且f(a)·f(b)0. (2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程f(x)＝g(x)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)＝g(x)的根. 　　　　题型一　判断零点所在区间 根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间是________. x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09[来源:] x＋2 1 2 3 4 5 解析　令f(x)＝ex－x－2，由图表知f(－1)＝0.37－1＝－0.630，f(0)＝1－2＝－10，f(1)＝2.72－3＝－0.280，f(2)＝7.39－4＝3.390，f(3)＝20.09－5＝15.090，由于f(1)·f(2)0，所以根所在的区间为(1,2)． 答案　(1,2) 点评　解题的关键是ex与x＋2差的符号，构造函数f(x)＝ex－x－2，将求方程ex－x－2＝0的根所在的区间转化为求函数的零点问题，通过函数零点的判断使问题获解． 　　　　　题型二　判断零点个数 定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)＝2 008x＋log2 008x，则函数f(x)的零点的个数为(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．2 006 解析　因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0， 因为log2 008＝－1,2 0081， 所以f＝2 008＋log2 0080， 所以，当x0时，f(x)＝2 008x＋log2 008x， 函数在区间内存在零点， 又根据单调函数的定义可证明f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点． 根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点，从而函数在R上零点的个数为3，故选C. 答案　C 点评　认识函数的性质是问题获解的关键，奇偶性保证函数的对称性，换句话说，有奇偶性的函数的零点(除原点外)是成对出现的．注意到函数为奇函数且在原点有定义，因此有f(0)＝0.其次是函数的单调性，保证了函数零点在单调区间内的唯一性，当然零点的判定方法也是问题获解不可或缺的部分． 　　　题型三　用二分法求方程的近似解 求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)． 解　设f(x)＝x2－2x－1. ∵f(2)＝－10，f(3)＝20， ∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0. 取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.250， ∴2x02.5； 再取2与2.5的平均数2.25， ∵f(2.25)＝－0.437 50，∴2.25x02.5； 再取2.25与2.5的平均数为2.375， f(2.37