2014年高考数学（文）真题分类汇编：H单元　解析几何（www.ks5u.com2014高考）.doc

数 学 H单元　解析几何 H1　直线的倾斜角与斜率、直线的方程 6．，，[2014·福建卷] 已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　) A．x＋y－2＝0 B．x－y＝2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 6．D　 20．、、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点． (1)求M的轨迹方程； (2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积． 20．解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16， 所以圆心为C(0，4)，半径为4. 设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)． 由题设知CM·MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，eq \r(2)为半径的圆． 由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM. 因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－eq \f(1,3)， 故l的方程为y＝－eq \f(1,3)x＋eq \f(8,3). 又|OM|＝|OP|＝2 eq \r(2)，O到直线l的距离为eq \f(4\r(10),5)， 故|PM|＝eq \f(4\r(10),5)，所以△POM的面积为eq \f(16,5). 21．、、、[2014·重庆卷] 如图1-5，设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，eq \f(|F1F2|,|DF1|)＝2eq \r(2)，△DF1F2的面积为eq \f(\r(2),2). (1)求该椭圆的标准方程． (2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由． 图1-5 21．解：(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c2＝a2－b2. 由eq \f(|F1F2|,|DF1|)＝2　eq \r(2)得|DF1|＝eq \f(|F1F2|,2　\r(2))＝eq \f(\r(2),2)c. 从而S△DF1F2＝eq \f(1,2)|DF1||F1F2|＝eq \f(\r(2),2)c2＝eq \f(\r(2),2)，故c＝1. 从而|DF1|＝eq \f(\r(2),2).由DF1⊥F1F2得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝eq \f(9,2)，因此|DF2|＝eq \f(3　\r(2),2)， 所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2　eq \r(2)，故a＝eq \r(2)，b2＝a2－c2＝1. 因此，所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1. (2)如图所示，设圆心在y轴上的圆C与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2. 由(1)知F1(－1，0)，F2(1，0)，所以eq \o(F1P1,\s\up6(→))＝(x1＋1，y1)，eq \o(F2P2,\s\up6(→))＝(－x1－1，y1)．再由F1P1⊥F2P2得－(x1＋1)2＋yeq \o\al(2,1)＝0. 由椭圆方程得1－eq \f(xeq \o\al(2,1),2)＝(x1＋1)2，即3xeq \o\al(2,1)＋4x1＝0，解得x1＝－eq \f(4,3)或x1＝0. 当x1＝0时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在． 当x1＝－eq \f(4,3)时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.设C(0，y0)，由CP1⊥F1P1，得eq \f(y1－y0,x1)·eq \f(y1,x1＋1)＝－1. 而y1＝|x1＋1|＝eq \f(1,3)，故y0＝eq \f(5,3). 圆C的半径|CP1|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(5,3))