11-Euclid空间,正交变换,对称变换.ppt

第十一讲 Euclid空间、正交变换和对称变换;定义2 设 ?1, ?2??? ?n 是欧氏空间 V 的一组基. 对任意 ?, ??V, 可设;定理1 n 维欧氏空间 V 中任意 n 个线性无关的向量 ??? ????? ?n, 可用施密特正交化方法转化成一个正交向量组 ??? ????? ?n, 其中;定义4 设 ? 是欧氏空间 V 的一个线性变换, 如果 ? 保持向 量的内积不变, 即对任意向量 ?? ??V, 都有 (?(?), ?(?)) = (?, ?), 则称 ? 是正交变换.;定理2 设 ? 是欧氏空间 V 的一个线性变换, 则下列四个 命题相互等价: (1) ? 是正交变换； (2) ? 保持向量长度不变，即 |????| ? |?|； (3) ? 把标准正交基还变为标准正交基； (4) ? 在任意一组标准正交基下的矩阵 A 是正交矩阵. 证明 (1) ? (2) 因为 ? 是正交变换, 所以 (?(?), ?(?)) = (?, ?), 两边开方即得 |????| ? |?|.;(4) ? (1) 设 A 是 ? 在标准正交基 ??? ????? ?n 下的矩阵, ; 上学期我们定义了: 设 ?, ??L(V), 定义 ? 和 ? 的复合映 射为 ??(亦称为映射的乘积, ???V, 定义 ??(?) = ?(?(?)), 易证 ???L(V). 还定义了: 设 ??L(V), 若存在 ??L(V), 使得 ?? = ?? = ?, 则称 ? 可逆, ? 为 ? 的逆. 易证可逆线性变换的逆变换是唯一的. ? 的逆记为 ?-1. ;例3 平面正交变换或为旋转或为境面反射变换.;解得;例5 对标准内积, 求与 ? = (1, 1, -1, 1)T, ? = (1, -1, -1, 1)T, ? = (2, 1, 1, 3)T 都正交的向量.;定理3 设 W 是欧几里得空间 V 的子空间, 则;推论 设 W 是欧几里得空间 V 的子空间, 则;例6 已知方程组;是 N(A)? 的标准正交基, 它们即为 A 的行空间的一组基.;定理4 已知 ? 是 n 维欧氏空间 V 的一个正交变换, W 是 ? 的不变子空间, 证明 W 的正交补 W⊥ 也是 ? 的不变 子空间.;定义6 设 ? 是欧氏空间 V 的一个线性变换, 如果对任意向 量 ?? ??V, 都有 (?(?), ?) = (?, ?(?)), 则称 ? 是对称变换. ;定理6 已知 ? 是 n 维欧氏空间 V 的一个对称变换, W 是 ? 的不变子空间, 证明 W 的正交补 W⊥ 也是 ? 的不变 子空间.;第十一讲 作业