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二、差分方程的概念 三、一阶常系数线性差分方程 * * §9.5 差分方程 二、差分方程的概念 一.差分的概念 三、一阶常系数线性差分方程 一.差分的概念 一阶差分 依此定义类推,有 Dyt+1=yt+2-yt+1=y(t+2)-y(t+1), Dyt+2=yt+3-yt+2=y(t+3)-y(t+2), ……………… 定义2 函数 yt =f ( t )在时刻 t 的二阶差分定义为一阶差 分的差分,即 D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt =(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt． 依此定义类推,有 D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1, D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2, ……………… 同样可定义三阶差分?3yt , 四阶差分?4yt , 即 ?3yt = ?(?2yt), ?4yt = ?(?3yt) . 定义3 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称为差分方程. 差分方程的一般形式为 F(t, yt , ?yt , ???, ?n yt) = 0. (1) 差分方程中可以不含自变量 t 和未知函数 yt , 但必须含有差分. 式(1)中, 当 n = 1时, 称为一阶差分方程；当n = 2时, 称为二阶差分方程. 例6 将差分方程 ?2yt + 2?yt = 0 表示成不含差分的形式. 解 ?yt = yt+1 ? yt , ?2yt = yt+2 ? 2yt+1 + yt , 代入得 yt+2 ? yt = 0. 由此可以看出, 差分方程能化为含有某些不同下标的整标函数的方程. 定义3* 含有未知函数几个时期值的符号的方程, 称为差分方程. 其一般形式为 F(t, yt , yt+1, ???, yt+n) = 0. (2) 定义3*中要求 yt , yt +1, ???, yt +n不少于两个. 例如, yt+2 + yt+1 = 0为差分方程, yt = t不是差分方程. 差分方程式(2)中, 未知函数下标的最大差数为 n, 则称差分方程为n 阶差分方程. 定义4 如果一个函数代入差分后, 方程两边恒等, 则称此函数为该差分方程的解. 例3 验证函数 yt = 2t + 1是差分方程 yt+1 ? yt = 2的解 解 yt+1 = 2(t+ 1) + 1 = 2t +3, yt+1 ? yt = 2t + 3 ? (2t +1) = 2, 所以yt = 2t + 1是差分方程 yt+1 ? yt = 2的解. 定义5 差分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与差分方程的阶数相等, 这样的解称为差分方程的通 解. 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 yt+1 + ayt = f (t). (3) 其中 a 为不等于零的常数. 称为齐次差分方程; 当 f (t) ? 0时, 称为非齐次差分方程. 当 f (t) = 0 时, 即 yt+1 + ayt = 0 (4) 先求齐次差分方程 yt+1 + ayt = 0的解 分别将t =0,1,2…, 代入方程逐次迭代可得 y1 = (-a )y0, y2 = (-a)2y0, ??? ??? yt = (-a)t y0, 若y0 = C为任意常数, 则得齐次差分方程的通解为 yt = C(-a)t. (5) 将方程yt+1+ayt=0 改写为: yt+1=-ayt, t=