《用空间向量研究直线、平面的位置关系》教案、导学案、同步练习.docx

《1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系》教案 （第一课时） 【教材分析】 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习运用空间向量解决线线、线面、面面的位置关系，主要是平行。 在向量坐标化的基础上，将空间中线线、线面、面面的位置关系，转化为向量语言，进而运用向量的坐标表示，从而实现运用空间向量解决立体几何问题，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间。 【教学目标与核心素养】 课程目标 学科素养 A. 能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量. B.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. C.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理. D.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系. 1.数学抽象：直线的方向向量与平面的法向量 2.逻辑推理：直线、平面平行关系的判定； 3.数学运算：空间向量的坐标运算解决直线、平面的平行关系. 【教学重点】：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系 【教学难点】： 用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系 【教学过程】 教学过程 教学设计意图 一、情境导学 牌楼与牌坊类似,是中国传统建筑之一,最早见于周朝。在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种,多设于要道口。牌楼中有一种有柱门形构筑物,一般较高大。如图,牌楼的柱子与地面是垂直的,如果牌楼上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行。这是为什么呢? 二、探究新知 一、空间中点、直线和平面的向量表示 1.点的位置向量 在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量OP来表示.我们把向量OP称为点P的位置向量.如图. 2.空间直线的向量表示式 如图①,a是直线l的方向向量,在直线l上取AB=a,设P是直线l上的任意一点,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得AP=ta,即AP=tAB.如图②,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使OP=OA+ta, 或OP=OA+tAB ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 1.下列说法中正确的是(　　) A.直线的方向向量是唯一的 B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 C.直线的方向向量有两个 D.平面的法向量是唯一的 答案:B　 解析:由平面法向量的定义可知,B项正确. 　3.空间平面的向量表示式 如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使OP=OA+xAB+yAC.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 4.平面的法向量 如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·AP=0}. 点睛：空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合. 2.若直线l过点A(-1,3,4),B(1,2,1),则直线l的一个方向向量可以是(　　) A.-1,12,-3 答案:D　 解析: AB=(2,-1,-3)=-3-23 3.若两个向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为(　　) A.(-1,2,-1) B.(1,2,1) C.(1,2,-1) D.(-1,2,1) 答案:A　 解析:设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则n·AB=0,n·AC=0,即x+2y+3z=0,3x+2 　二、空间中直线、平面平行的向量表示 位置关系 向量表示 线线 平行 设μ1,μ2分别是直线l1,l2的方向向量,则 l1∥l2?μ1∥μ2??λ∈R,使得μ1=λμ2. 线面 平行 设μ是直线l的方向向量,n是平面α的法向量, l?α,则l∥α?μ⊥n?μ·n=0. 面面 平行 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则 α∥β?n1∥n2??λ∈R,使得n1=λn2. 点睛：1.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量定理,只需证明直线的方向向量μ1∥μ2.此外,证明线面平行也可用共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可. 2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点. 4.若两条直线的方向向量分别是a=(2,4,-5),b=(-6,x