坐标变换与矩阵的基本概念.pptx
坐标变换与矩阵的基本概念
汇报人：XX
2024-02-05
2023
XX
REPORTING
坐标变换概述
矩阵基本概念引入
线性变换与矩阵关系探讨
仿射变换及其矩阵表达形式
坐标变换在实际问题中应用案例
总结与展望
目录
CATALOGUE
2023
PART
01
坐标变换概述
2023
REPORTING
坐标变换是指在一个坐标系中描述的点、线、面等几何元素，通过某种数学变换，转换为另一个坐标系中描述的相应几何元素的过程。
坐标变换是数学和物理等领域中非常重要的工具，它使得我们可以在不同的坐标系中描述同一对象，从而方便我们进行各种计算和分析。
坐标变换意义
坐标变换定义
包括平移、旋转、缩放等，常用于计算机图形学、机器人学等领域。
线性变换
包括透视变换、仿射变换等，常用于图像处理、计算机视觉等领域。
非线性变换
坐标变换广泛应用于各种领域，如地理信息系统（GIS）、遥感监测、医学影像处理、三维建模与动画等。
应用场景
PART
02
矩阵基本概念引入
2023
REPORTING
用方括号或圆括号将矩阵元素括起来，按行排列，元素之间用逗号或空格隔开。
矩阵的表示方法
矩阵的行数和列数称为矩阵的维度，如m×n矩阵表示有m行n列。
矩阵的维度
同型矩阵对应元素相加得到新的矩阵。
矩阵加法
一个数与矩阵相乘，等于该数与矩阵中每个元素相乘。
矩阵数乘
满足一定条件的两个矩阵相乘，结果是一个新矩阵，其元素由乘数矩阵与被乘数矩阵对应元素相乘后求和得到。
矩阵乘法
将矩阵的行和列互换得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
矩阵转置
矩阵性质
矩阵满足结合律、分配律等基本运算性质，同时还有一些特殊性质如可逆矩阵、正交矩阵等。
应用举例
矩阵在线性代数、计算机图形学、数据分析等领域有广泛应用。例如，在计算机图形学中，矩阵变换可以实现图形的平移、旋转、缩放等操作；在数据分析中，矩阵运算可以用于数据降维、特征提取等任务。
PART
03
线性变换与矩阵关系探讨
2023
REPORTING
线性变换定义
线性变换是一种映射，它将向量空间中的向量映射到另一个向量空间，同时保持向量加法和标量乘法的性质不变。
线性变换性质
线性变换具有保持向量加法、标量乘法、线性组合和线性相关性的性质。
线性变换可以通过矩阵来表示，矩阵的列向量是变换后基向量的坐标。
矩阵表示原理
给定线性变换前后的基向量坐标，可以通过求解线性方程组得到变换矩阵。
变换矩阵求解
伸缩变换
旋转变换
投影变换
反射变换
01
02
03
04
伸缩变换是一种将向量沿坐标轴方向进行拉伸或压缩的线性变换。
旋转变换是一种将向量绕原点旋转一定角度的线性变换，可以通过旋转矩阵来实现。
投影变换是一种将向量投影到某个子空间上的线性变换，可以通过投影矩阵来实现。
反射变换是一种将向量关于某个超平面进行对称的线性变换，可以通过反射矩阵来实现。
PART
04
仿射变换及其矩阵表达形式
2023
REPORTING
仿射变换定义
仿射变换是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间的过程。
仿射变换特点
仿射变换保持二维图形的“平直性”（即直线经仿射变换后依然为直线）和“平行性”（即平行线经仿射变换后依然为平行线，且直线上点的位置顺序不会发生变化）。
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线性变换可以通过一个矩阵乘法来表示，即对于二维空间中的点(x,y)，可以通过一个2x2的矩阵与其相乘得到变换后的坐标。
线性变换部分
平移可以通过加上一个二维向量来实现，因此仿射变换可以通过一个2x3的矩阵来表示，其中最后一列为平移向量。
平移部分
将线性变换矩阵和平移向量合并为一个3x3的矩阵，其中最后一行为(0,0,1)，这样就可以用一个矩阵来表示整个仿射变换。
合并线性变换和平移
图像缩放
通过仿射变换可以实现图像的缩放，即改变图像的大小。
图像旋转
仿射变换也可以用来实现图像的旋转，即使图像绕某一点旋转一定的角度。
图像倾斜
通过仿射变换还可以实现图像的倾斜，即使图像在方向上产生一定的偏移。
图像裁剪和拼接
在图像处理中，仿射变换还常用于图像的裁剪和拼接操作，通过变换图像的坐标来实现不同图像之间的对齐和组合。
PART
05
坐标变换在实际问题中应用案例
2023
REPORTING
03
投影变形处理
在投影过程中，为保证地图精度和可用性，需对投影变形进行处理。
01
地理坐标系与投影坐标系转换
将经纬度坐标转换为平面坐标，以便于地图制作和空间分析。
02
不同投影坐标系间转换
为适应不同地图投影需求，需进行不同投影坐标系间的坐标转换。
通过坐标变换，描述机器人在空间中的位置和姿态。
机器人位姿描述
运动学正问题
运动学逆问题
已知机器人各关节角度，计算末端执行器的位置和姿态。
已知末端执行器