傅里叶变换的基本概念和基本定理.ppt

二、 F.T.定理 4. 帕色伐(Parseval)定理 若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压, 则∫| g(x) |2dx 代表信号的总能量(或总功率) | G(f) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔的能量或功率) 设 g(x,y) G(fx,fy), F.T. Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒 二、 F.T.定理 -- Parseval定理的证明 交换积分顺序,先对x求积分: 利用复指函数的F.T. 利用d 函数的筛选性质 思考题: 二、 F.T.定理 5. 卷积定理 空域中两个函数的卷积, 其F.T.是各自F.T.的乘积. {g(x,y)* h(x,y)}= G(fx,fy) . H(fx,fy) 设 g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy), F.T. F.T. {g(x,y) . h(x,y)}= G(fx,fy) * H(fx,fy) 空域中两个函数的乘积, 其F.T.是各自F.T.的卷积. 将时、空域的卷积运算，化为频域的乘积运算，特别有用. 亦可用于求复杂函数的F.T.和复杂函数的卷积 卷积定理的证明 交换积分顺序: 应用位移定理 应用F.T.定义 7.自相关定理 9.迭次变换定理 6. 互相关定理 ( 表示互功率谱) 8.积分定理 10.积分变换定理 12.共轭变换定理 若f(x,y)是非负的实函数(例如光强度),则有 具有上述性质的函数称为厄米特函数. 11.微分变换定理 谢 谢！ 放映结束 感谢各位观看！ 让我们共同进步 * * * * * * * * * sinc(x)d (x-1) = tri(x)d (x + 0.5) = sinc(x)*d (x-1) = tri(x) * d (x + 0.5) = 0 sinc(x-1) 1 x 2 0 1 0.5 d (x + 0.5) 1 x 0 -1 1 0.5 -0.5 tri(x + 0.5) 0 -0.5 1 0.5 -1.5 x 恩格斯(Engels) 把傅里叶的数学成就与他所推崇的哲学家黑格尔(Hegel) 的辩证法相提并论. 第三讲 二维傅里叶变换的基本概念及基本定理 他写道：傅里叶是一首数学的诗，黑格尔是一首辩证法的诗. 满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-?,+ ?)展为三角傅里叶级数: 展开系数 零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念， 奇、偶函数的三角级数展开 1、三角傅里叶级数展开 三角傅里叶展开的例子 前3项的和 周期为t =1的方波函数 an fn 频谱图 … 0 1 3 1/2 2/p -2/3p 三角傅里叶展开的例子 练习 1-15：求函数 f(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数 三角傅里叶展开的例子 练习 0-15：求函数 g(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数 周期 t =1 宽度 =1/2 频率 f0 =1 采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。 二维傅里叶变换 ——指数傅里叶级数 满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-?,+ ?)展为指数傅里叶级数: 展开系数 零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念 指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表示方式，一种系数可由另一种系数导出。 二维傅里叶变换 —— 指数傅里叶级数 思考题 利用欧拉公式，证明指数傅里叶系数与三角傅里叶系数之间的关系： 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换 函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期t,可以展为傅里叶级数: 展开系数Cn 频率为n/t的分量 n级谐波频率:n/t 相邻频率间隔: 1/t 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换 非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数: 由于t → ∞ 分立的n级谐波频率 n/t → f, f: 连续的频率变量 相邻频率间隔: 1/t →0, 写作df, 求和→积分 展开系数,或频率f分量的权重, G(f), 相当于分立情形的Cn 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform从傅里叶级数到傅里叶变换 写成两部分对称的形式: 这就是傅里叶变换和傅里叶逆变换 二维傅里叶变