九年级数学上册第四章图形的相似相似多边形相似多边形的性质的应用素材北师大精品.doc

九年级数学上册第四章图形的相似相似多边形相似多边形的性质的应用素材北师大－精品 ———————————————————————————————— 作者： ———————————————————————————————— 日期: 相似多边形的性质的应用 1、相似多边形的性质 　（1)相似多边形中，对应的三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比. 　（2)相似多边形中,对应线段的比等于相似比. 　 (3)相似多边形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 　２、重要方法 　相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方，运用这两个性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系,并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化． 　 相似三角形的性质（１)回答了相似三角形中所有对应线段都构成比例的问题，这个性质为我们今后证明线段的比例式提供了极大的方便．性质（2）、（3)揭示了相似三角形的周长、面积与相似比的关系，利用它可以解决相似三角形中有关周长和面积的问题,这里要注意这些性质的灵活运用.如：两个相似三角形的相似比，等于它的周长比;也等于它们的面积比的算术平方根． 　例1　一个多边形的边长分别为2,3，4，5,6，另一个多边形和这个多边形相似，其最短边长为6,则最长边长为 　 　　　 　 　 (　 ) A．12 　 B．１８　　　C.24 　D．３０ 　 【思路与技巧 由相似多边形对应边成比例，设最长边为ｘ. 　 ∴，∴2x=36,x=18． 　答案 B 　点评　本题根据相似多边形的对应边成比例的性质，第一个多边形的最短边与第二个多边形的最短边,第一个多边形的最长边与第二个多边形的最长边分别是对应边,切记不可将对应关系弄错. 　 例2 如图在□ABCD中,ＡB=6,ＡD=4,EF∥AD，若□ＡBＣＤ∽□EFDA，求AＥ的长． ? 　　思路与技巧(１)图形中有几对相似的平行四边形？为什么？对应边分别是什么？ 　 （2）AＥ的对应边应是哪条线段？为什么？ 　　（３）试一试:求S□ABCD∶S□EＦＤA的值． 　　解 ∵EF∥ＡD，四边形ＡBＣＤ是平行四边形, ＡD=4 ∴EF=AD=4, 　 ∵□ＡＢCＤ∽□EFDA, 　　∴ （相似多边形对应边成比例）, 　又∵AB=6, 　 ∴ ∴　. 　　点评 由相似的条件，可知ＡE的对应边是DA，一般的在条件中，若使用的是相似符号,则对应边则是确定的，因此书写相似多边形时，对应的字母要写在对应的位置上． 　　例3　已知：如图，正方形ＡBCD中,E是AC上一点，EF⊥AB于F，EG⊥AＤ于G，AＢ=6，AE∶EC＝2∶1, 求S四边形AFＥＧ． 　　思路与技巧　（1)四边形AＦEG是什么图形?为什么? 　 （２)ＡE∶EC的值与哪两条线段的比相等?为什么?如何求出AF的长？ 　　（3)任意的两个正方形都相似吗?为什么?所有的矩形都相似吗?所有的菱形都相似吗？ 解 ∵正方形ABＣＤ，EF⊥AB，ＥG⊥ＡＤ? 　∴ＥＦ∥CB，EG∥DＣ??? ∵∠１＝∠2=４5° ∴EF=ＡF 　 ∵∠ＦAG=9０°,∴AFEＧ是正方形, 　∴正方形ＡBCD∽正方形AFEG, 　　∴S正ＡBＣＤ∶S正AＦEG＝AＢ2∶ＡF2 　　（相似多边形的面积比等于相似比的平方）, 在△ABC中,EF∥CB ∴AE∶EC=AＦ∶FB＝2∶1， 　又AB=6 ∴AＦ=4　∴S正ABCＤ∶S正AFEＧ＝36∶1６, 　　∴　. 　　点评 本题中的正方形是特殊的多边形,但在一般的多边形中，一定要注意对应关系． （1)相似多边形的对应边的比，等于相似比的平方; 　（２)所有的正方形都是相似的，此题中只须证出四边形AFＥG是正方形,即可得到它与正方形ABＣD相似 　　例4 已知:如图所示，△ABC中，DE//FＧ//BＣ． 　　(1)若AD=DF=FＢ,求S1:S2：S3； 　　（２）若S1:Ｓ２:S3=1:8：27,求AD:ＤF:ＦB． 　　思路与技巧 注意在（２）中，不能由Ｓ1:Ｓ2=1:８, 就得出AD:DF=１:,因为此处不能直接运用面积的比等于相似比的平方，S1,S２不是两个相似三角形的对应面积． 解 　　 　（１) 　 　令，则, 　　 　 　　 　　(2) 　　∴可设，则 　 　 ∴AＤ：AF:AB＝１:3:６ ＡD：DＦ：FB=1：２:3． 　　点评 根据相似形，实施比例转化,应用面积比等于相似比的平方． 例5　如图所示，△AＢC的面积为16，,D为AＢ上任一点，F为ＢD的中点,DＥ／/BC,FG//ＢC，分别交ＡC于E、Ｇ，设AD＝x． 　（1）把△ADE的面积Ｓ1，用含x的代数式表示; 　（2）