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综合法与分析法习题 综合法与分析法习题 [学业水平训练] 1．分析法是从要证的结论出发，逐步寻求结论成立的( ) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．等价条件 解析：选A.由分析法的要求知，应逐步寻求结论成立的充分条件． 2．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.证明过程如下： ∵a，b，c∈R， ∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2aC． 又a，b，c不全相等， ∴以上三式至少有一个“＝”不成立． ∴将以上三式相加，得2(a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ac)． ∴a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋aC．此证法是( ) A．分析法 B．综合法 C．分析法与综合法并用 D．反证法 3．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是( ) A．m⊥l，m∥α，l∥β B．m⊥l，α∩β＝m，l?α C．m∥l，m⊥α，l⊥β D．m∥l，l⊥β，m?α 解析：选D．A：与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；B：平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；C：这两个平面有可能平行或重合；D：是成立的，故选D． 4．使a2＋b2－a2b2－1≤0成立的充要条件是( ) A．|a|≥1且|b|≥1 B．|a|≥1且|b|≤1 C．(|a|－1)(|b|－1)≥0 D．(|a|－1)(|b|－1)≤0 222222解析：选C．a＋b－ab－1≤0?a(1－b)＋(b2－1)≤0?(b2－1)(1－a2)≤0?(a2－1)(b2 －1)≥0?(|a|－1)·(|b|－1)≥0. 5．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数( ) A．成等比数列而非等差数列 B．成等差数列而非等比数列 C．既成等差数列又成等比数列 D．既非等差数列又非等比数列 解析：选B.由已知条件， a＋c＝2b， ①??2可得?x＝ab， ② ??y2＝bc. ③ ?由②③得?yc＝?b2x2a＝b x2y2代入①，得2b， bb 即x2＋y2＝2b2. 故x2，b2，y2成等差数列． a2＋b2a2＋b26．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋22 b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立． a2＋b2解析：用分析法证明ab的步骤为： 2 a2＋b2要证ab成立， 2 只需证a2＋b2≥2ab，也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0. 由于(a－b)2≥0显然成立， 所以原不等式成立． 答案：a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0 1π3π7．已知sin θ＋cos θ＝≤θ≤cos 2θ＝________. 524 1解析：因为sin θ＋cos θ＝， 5 1所以1＋sin 2θ＝， 25 24所以sin 2θ＝－. 25 π3π因为θ≤， 24 3π所以π≤2θ≤2 7所以cos 2θ1－sin2θ25 7答案：－ 25 8. 如图所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)． 解析：要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C． 因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD， 即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C． 答案：AC⊥BD(答案不唯一) |a|＋|b|9．已知非零向量a⊥b，求证：2. |a－b|证明：∵a⊥b，∴a·b＝0. |a|＋|b|要证≤2， |a－b|只需证|a|＋|b|2|a－b|， 平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)， 22只需证|a|＋|b|－2|a||b|≥0成立， 即(|a|－|b|)2≥0显然成立． 故原不等式得证． b＋ca＋ca＋b11110．已知，，也成等差数列． abcabc 111证明：因为 abc a＋c2即， acb 所以b(a＋c)＝2ac， b＋ca＋b?