2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：等差数列及其前n项和.doc

[备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式； 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题； 4.了解等差数列与一次函数的关系. 1.以选择题的形式考查等差数列的基本量及等差数列性质的简单应用，如2012年辽宁T6，北京T10，江西T12等．2.以解答题的形式考查等差数列的概念、等差数列的判定、通项公式、前n项和公式以及等差数列的性质等，如2012年陕西T17等. [归纳·知识整合] 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(nN*，n≥2)或an＋1－an＝d(常数)(nN*)． 2．等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.亦可以用数列中的第m项am与公差d表示为an＝am＋(n－m)d. [探究]　1.已知等差数列{an}的第m项为am，公差为d，则其第n项an能否用am与d表示？ 提示：能，an＝am＋(n－m)d. 3．等差中项 若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝. 4．等差数列的前n项和公式 Sn＝na1＋d＝. [探究]　2.等差数列前n项和公式的推导运用了什么方法？ 提示：倒序相加法． 3．等差数列前n项和公式能否看作关于n的函数，该函数是否有最值？ 提示：当d≠0时，Sn是关于n的且常数项为0的二次函数，则(n，Sn)是二次函数图象上的一群孤立的点，由此可得：当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值． 5．等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq， 特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd. (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． [自测·牛刀小试] 1．(2012·重庆高考)在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝(　　) A．7　　　B．15　　　C．20　　　D．25 解析：选B　数列{an}的公差d＝＝2，则a1＝－1，a5＝7，可得S5＝15. 2．(2012·辽宁高考)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝(　　) A．58 B．88 C．143 D．176 解析：选B　因为{an}是等差数列，所以a4＋a8＝2a6＝16a6＝8，则该数列的前11项和为S11＝＝11a6＝88. 3．(教材习题改编)在等差数列{an}中，若a4＋a5＝15，a7＝15，则a2的值为(　　) A．－3 B．0 C．1 D．2 解析：选B　由题意知，a2＋a7＝a4＋a5，所以a2＝a4＋a5－a7＝0. 4．(教材习题改编)已知两个数列x，a1，a2，a3，y与x，b1，b2，y都是等差数列，且x≠y，则的值为________． 解析：a2－a1＝(y－x)，b2－b1＝(y－x)， ＝. 答案： 5．(教材习题改编)有两个等差数列2,6,10，…，190及2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列{an}的通项公式an＝________. 解析：两个等差数列的公共项为2,14,26，…即新数列的首项为2，公差为12. 故an＝2＋(n－1)×12＝12n－10. 答案：12n－10 等差数列的判定与证明 [例1]　已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＝－2SnSn－1(n≥2)． (1)求证：数列是等差数列； (2)求Sn和an. [自主解答]　(1)证明： 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝－2SnSn－1， ∴Sn(1＋2Sn－1)＝Sn－1. 由上式，若Sn－1≠0，则Sn≠0. S1＝a1≠0， 由递推关系知Sn≠0(nN*)， 由式得－＝2(n≥2)． 是等差数列，其中首项为＝＝2，公差为2. (2)＝＋2(n－1)＝＋2(n－1)， Sn＝. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－， 当n＝1时，a1＝S1＝不适合上式， an＝ 若将条件改为“a1＝2，Sn＝(n≥2)”，如何求解． 解：(1)证明：Sn＝， ＝＝＋2. －＝2. 是以为首项，以2为公差的等差数列． (2)由(1)知＝＋(n－1)×2＝2n－， 即Sn＝. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－ ＝； 当n＝1时，a1＝2不适合an， 故an