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高中概率统计综合练习含答案 基础题 1. 掷一枚均匀硬币四次，若每出现一个正面得3元，一个反面赔1元，则所得总额之期望值为　　　元。（8 分） 解 ∵掷硬币一次平均可得 × 3＋ ×（－1）＝1（元） ∴掷硬币四次之期望值（平均值）为4 × 1＝4（元） 2. 箱中有两颗红球与两颗白球。一摸彩游戏是从箱中同时抽出两颗球。如果抽出的两球颜色不同，则得奖金60元；如果两球颜色相同，则无奖金。请问此游戏奖金的期望值为何？（8 分） (A)20元 (B)30元 (C)40元 (D)50元 (E)60元。 解 设随机变量X表示抽出两颗球可获得的金额，随机变量X的概率分布如下表： 一红一白 颜色相同 X 60 0 pX E（X）＝ × 60＋ × 0＝40（元） 故选(C) 3. 袋中有红球2个，黑球3个，球大小一致且被取出的机会均等，连续自袋中取球5次，每次取一球，取出后放回，且每次取球结果互相独立，则： (1)取得红球次数的期望值为　　　次。（4 分） (2)取得红球次数的标准差为　　　次。（4 分） 解 设随机变量X表示取球5次可获得的红球数 此为n＝5，p＝的二项分布；q＝1－p＝ (1)取得红球次数的期望值E（X）＝np＝5 × ＝2（次） (2)取得红球次数的变异数Var（X）＝npq＝5 × × ＝ 故标准差为＝（次） 4. 连续投掷一公正骰子3次，以随机变量 X 表示出现点数为 2 或 6 的次数，则： (1)X的期望值为　　　次。（3 分） (2)X的变异数为　　　。（3 分） (3)X的标准差为　　　次。（3 分） 解 此为n＝3，p＝的二项分布 (1)X的期望值E（X）＝3 × ＝1（次） (2)X的变异数Var（X）＝3 × × ＝ (3)X的标准差＝＝（次） 5. 调查显示有50％的大学生曾有打工经验，现抽取5位大学生，且每位大学生打工与否互相独立，则至少有4位曾有打工经验的概率为　　　。（8 分） 解 此为n＝5，p＝50％＝的二项分布 因此至少有4位曾有打工经验的概率为 ＋＝＋＝ 6. 随机抽取400个随身碟，发现其中有8个不良品。试求在95％信心水平下，此种随身碟真正的不良率p的信赖区间为　　　。（8 分） 解 ∵p＝＝ ? 标准差σ＝ ∴p的95％信赖区间为± 2 × ＝0.02 ± 0.014 即 0.006 ? p ? 0.034 故在95％信心水平下的信赖区间为[0.006﹐0.034] 7. 某市为了筹措经费而发行公益彩券，该市决定每张彩券的售价为100元，且每发行一百万张彩券，即附有壹千万元奖1张，壹佰万元奖9张，壹拾万元奖90张，壹万元奖900张，壹仟元奖9000张。试问当你购买一张彩券时，你预期会损失　　　元。（8 分） 解 彩金为107×＋106×＋105×＋104×＋103×＝10＋9＋9＋9＋9＝46 购买一张彩券的期望值为46－100＝－54（元） 8. 某公司评估甲、乙两种投资案，甲、乙两案成功的概率分别为 0.6、0.7。在甲案，若成功预计可获利 80 万元；如果失败，预计将亏损 50 万元。在乙案，若成功预计可获利 60 万元；如果失败，预计将亏损 40 万元。如以获利期望值为决策准则，该公司应选择甲案或乙案投资？写出作决策的过程。（8 分） 解 选择甲案之期望值E（甲）＝80 × 0.6＋（－50）× 0.4＝28 选择乙案之期望值E（乙）＝60 × 0.7＋（－40）× 0.3＝30 ∵E（甲）＜E（乙） ∴选择乙案投资较有利 9. 同时掷三颗公正骰子一次的游戏，每次输赢规则如下：若三颗骰子的点数全都是6，则可赢7元；恰有两个点数为6，则可赢4元；恰有一个点数为6，则可赢1元；而没有点数为6，则输2元。如此，玩一次的期望值（赢为正，输为负）为　　　元。（8 分） 解 设随机变量 X 表示掷三颗骰子一次所得到点数为 6 的个数 P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3 钱数X 10 4 2 －2 概率P（X＝k） ∴期望值为7 × ＋4 × ＋1 × －2 × ＝－（元） 进阶题 1. 某次考试，有一多重选择题，有(A)、(B)、(C)、(D)、(E)五个选项，给分标准为完全答对给5分，只答错1个选项给3分，答错2个或2个以上的选项得0分。若某一考生对该题的(A)、(B)选项已确定是应选的正确答案，但(C)、(D)、(E)三个选项根本看不懂，决定这三个选项要用猜的来作答，则他此题所得分数的期望值为　　　。（9 分） 解 剩下(C)，(D)，(E)三个选项，随机变量X表示得到的分数 X 5 3 0 pX ＝ ×＝ ×＋×＝ 全对：5 ×＝，对2个：3 × ×＝， 对1个以下：0 × ＝0 E（X）＝＋＝＝（分） 2. 全国高三学生20万人，智商测验的结果是「平均数100