第七章 §5.2 有界变差函数.pdf

§5.2 有界变差函数 教学目的 本节介绍有界变差函数的性质.证明有界变差函数的 Jordan 分解定理. 教学要点 有界变差函数的概念, 变差函数的性质, Jordan 分解定理. 定义 1 设f 是定义在区间[a,b] 上的实值函数. 对[a,b] 的任一分割P {x }n , 其 i i 0 中{x }n 满足a x x x b, 作和式: i i 0 0 1 n n V (x , x ) ∑f (x ) −f (x ) . f 0 n i i−1 i 1 称V (x , x ) 为f 关于分割{x }n 的变差. 令 f 0 n i i 0 b V(f ) sup{V (x , ,x ) : {x , ,x }是[a,b]分割}. a f 0 n 0 n b b 称 f [a,b] f [a,b] V(f ) 为 在 上的全变差. 若V(f ) +∞, 则称 是 上的有界变差函数. a a [a,b] 上的有界变差函数的全体记为V[a,b]. 例1 区间[a,b] 上的单调函数是有界变差函数. 事实上, 不妨设f 在[a,b] 上是单调增加. 则对[a,b] 的任一分割{x }n , 我们有 i i 0 n n V (x0 , x ) ∑f (x ) −f (x −1 ) ∑(f (x ) −f (x −1 )) f (b) −f (a.). f n i i