高一数学：一次函数和二次函数知识点+例题讲解+课堂练习.doc

课时数量

√2课时〔120分钟〕

√

适用的学生水平

?优秀?中等?根底较差

教学目标〔考试要求〕

掌握一次函数和二次函数的性质及图象特征；

学会用配方法研究二次函数的性质；

会运用待定系数法解题，理解二次函数的图象与系数、、及一元二次方程两根、判别式之间的联系，并运用其性质解决有关问题．

教学重点、难点

重点：一次函数和二次函数的性质及图象特征．

难点：二次函数的性质运用．

建议教学方法

寓教于练，重在点拨

第5讲一次函数和二次函数

教学内容

一、知识梳理

1.函数叫做一次函数，它的定义域是R，值域是R ；

〔1〕一次函数的图象是直线，所以一次函数又叫线性函数；

〔2〕一次函数中，叫直线的斜率，叫直线在轴上的截距；时，函数是增函数，时，函数是减函数；

〔3〕时该函数是奇函数且为正比例函数，直线过原点；时，它既不是奇函数，也不是偶函数；

4.函数叫做二次函数，它的定义域为是R，图象是一条抛物线；

〔1〕当0时，该函数为偶函数，其图象关于轴对称；

〔2〕当时，抛物线开口向上，二次函数的单调减区间为，单调增区间为，值域为；

〔3〕当时，抛物线开口向下，二次函数的单调增区间为，单调减区间为，值域为；

二、方法归纳

1.二次函数的三种表示形式

提示

二次函数图象的对称轴与轴的交点是函数单调区间的界，在轴上，与对称轴等距离的点的函数值相等．

〔1〕一般式：．

〔2〕顶点式：，其中 为抛物线的顶点坐标．

〔3〕两根式：，其中、是抛物线与x轴交点的横坐标．

2.利用配方法求二次函数的对称轴方程为：

＝－．

3.假设二次函数对应方程＝0的两根为、，那么函数图象的对称轴方程为：

＝＝－．

4.用待定系数法求解析式时，要注意函数对解析式的要求，一次函数、正比例函数、反比例函数的比例系数、二次函数的二次项系数等；要应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，确定其系数．

三、典型例题精讲

［例1］二次函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是〔〕

Ａ．

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

解析：由题义，方程＝0的两根为、．

观察备选答案ABC中反比例函数的图象，知＞0，

答案A中，＞0，矛盾；答案B中，＞0，正好，应选B．

【技巧提示】根据函数的图象确定函数解析式中的参数，需要考查其单调性、奇偶性、对称轴、根的符号等．

又例：二次函数为偶函数，其定义域为，那么函数的值域为．

解析：由题意，≠0，＝0，且，∴＝，

函数的值域为．

［例2］对于每一个，设取，，三个函数中的最小值，用分段函数写出的解析式，并求的最大值．

解析：这是教材中的一道练习题．取，，三个函数中的最小值．于是的解析式为

Oxy

O

x

y

的最大值为＝．

【技巧提示】理解取，，

三个函数中的最小值的含义，用分段函数写出的解析式是关键．

又例：对于任意，函数表示，，中的较大者，那么的最小值是__〔答案：2〕

［例3］二次函数满足，又，，假设在[0，]上有最大值3，最小值1，那么的取值范围是()

A.B.C.D.[2,4]

解析：由知函数的图象关于直线＝2对称，

Oxy321

O

x

y

3

2

1

由上有最大值3，最小值1，

可知的取值范围是，应选D．

【技巧提示】函数满足

，那么的

图象关于直线＝对称，

其中也可用代替；数形结合可以使解法更加便捷．

又例：二次函数满足(x∈R)，且＝0有两个实根、，那么＋等于()

A．0B．3C．6D．不能确定

解析：由(x∈R)知函数的图象关于直线＝3对称，应有，＋＝6.答案：C

再例：函数的定义域为，值域为，那么实数的取值范围是

解析：函数，

又，的最小值为，

∴实数的取值范围是．

［例4］抛物线与轴交于点两点且.求的值.

解析：由题意是方程的两根，

∵，又

即，

∴，解得，．

当时△＞0，当时△＜0〔舍去〕∴．

【技巧提示】抛物线与轴交于点的横坐标是二次函数所对应的方程＝0的根，一元二次方程根与系数的关系及判别式△，是解答此题的重要根底知识．

又例：如果二次函数的图象和轴有交点，那么的取值范围是()

A．＞－ B．≥－且≠0

C．≥－ D．＞－且≠0

解析：注意数学语言转换，“二次函数”意味着“≠0”；“图象和轴有交点”等价于△≥0．

答案：B

［例5］函数＝x2＋mx＋n的图象过点(1，3)，且＝对任意实数都成立，函数y＝与y＝的图象关于原点对称