2015年文科数学第二轮专题三立体几何(教师版).doc

专题三：立体几何 第一课时 空间几何体的视图、表面积与体积 一、知识要点： 1.三视图：正俯视图长对正、正侧视图高平齐、俯侧视图宽相等. 2.直观图:已知图形中平行于x轴和z轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y轴的线段平行性不变,但在直观图中其长度为原来的一半. 3.旋转体的侧面积是指其侧面展开图的面积，因此，要弄清侧面展开图的形状．对于多面体的表面积，只需具体研究各面的性质，进而分别计算． 4.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据已知条件找出相应的底面面积和高；对于简单组合体的体积要通过“割”与“补”化归为简单几何体体积的问题；对于三棱锥，以其任意一个面作为底面，都可以表示其体积． 5.关于球的问题要注意球的半径、截面圆半径、球心到截面圆的距离构成的直角三角形． 6.体积与表面积公式: (1)柱体的体积公式:;锥体的体积公式: ; 台体的体积公式: ;球的体积公式: . (2)球的表面积公式: . 二、例题分析 例1：一个五面体的三视图如下：正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图是直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为 小结: 1．三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正俯之间长相等，侧俯之间宽相等，正侧之间高相等，即“正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等”． 2．解答此类问题，要善于将三视图还原成空间几何体，再结合三视图进行处理 例2．如下的三个图，分别是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图以及它的视图和视图（单位：cm）（1）按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积； （3）在所给直观图中连结，证明：面． （1）如图 （2）所求多面体体积． （3）证明：在长方体中， 连结，则．因为分别为，中点，所以 从而．又平面，所以面． 平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　) A.π B．4π C．4π D．6π 解析：利用截面圆的性质先求得球的半径长． 如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点， 则OO′＝，O′M＝1， ∴OM＝＝，即球的半径为， ∴V＝π()3＝4π. 答案：B1.点M、N分别是正方体的棱、中点，用过A、M、N和D、N、的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如右图，则该几何体的正视图、侧视图(左视图）、俯视图依次为 A．①、②、③ B．②、③、④ C．①、③、④ D．②、④、③ 答案：B 2．已知一个四棱锥的高为，其底面用斜二测法画直观图是一个边长为1的正方形,?则四 3．是球面上的四个点，两两垂直，， 则球的体积为__________． 4．一个几何体的三视图及其尺寸（单位：）如图所示，则该几何体的侧面积为 . 80 5．中，点P是上底面内一动点，则三棱锥的主视图与左视图的面积的比值为_________. 1 6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为 解析：由三视图知，该几何体是一个底面为直角三角形的直棱柱，其表面积等于2×(×1×2)＋(2×＋1×2＋2×2)＝8＋2三、例题分析 例1．中，、分别为、的中点． （1）求证：//平面； （2）求证：； （3）求三棱锥的体积． 解：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则 ∵EF为中位线…………2分 而面，面 面…………4分 （2）等腰直角三角形BCD中，F为BD中点 ①…………5分 正方体 ， ②…………7分 综合①②，且 ，而， …………………………………………………9分 （3）由（2）可知 即CF为高 ，…………10分 ， ∴ 即 ∴…………12分 =…………14分 例2．如图4，已知三棱锥的则面是等边三角形，是的中点，.(1)证明：平面；（2）求点到平面的距离. 证明：(1)∵,是等边三角形 ∴,故是直角三角形， ∴ (2分) 同理可证 (3分) ∵平面，∴平面 (4分) 又∵平面，∴ (5分) 又∵是的中点，∴ (6分) ∵, ∴平面 (7分) (2) ∵, ∴,故是直角三角形， (8分) ∴ (9分)