一维抛物线偏微分方程数值解法().doc
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一维抛物线偏微分方程数值解法（2）
上一篇文章请参看 一维抛物线偏微分方程数值解法（1）
解一维抛物线型方程(理论书籍可以参看孙志忠：偏微分方程数值解法）
Ut-Uxx=0, 0x1,0t=1（Ut-aUxx=f(x,t),a0)
U(x,0)=e^x, 0=x=1,
U(0,t)=e^t,U(1,t)=e^(1+t), 0t=1
精确解为：U(x,t)=e^(x+t);
Matlab程序： （此为向后差分法）
function [u p e x t]=pwxywxh(h1,h2,m,n)
%欧拉向后差分法解一维抛物线型偏微分方程
%此程序用的是追赶法解线性方程组
%h1为空间步长，h2为时间步长
%m,n分别为空间，时间网格数
%p为精确解，u为数值解,e为误差
x=(0:m)*h1+0;
t=(0:n)*h2+0;
for(i=1:n+1)
for(j=1:m+1)
f(i,j)=0;
end
end
for(i=1:n+1)
u(i,1)=exp(t(i));
u(i,m+1)=exp(1+t(i));
end
for(i=1:m+1)
u(1,i)=exp(x(i));
end
r=h2/(h1*h1);
for(i=2:n+1) %外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组%
a(1)=0;b(1)=1+2*r;c(1)=-r;d(1)=u(i-1,2)+h2*f(i,2)+r*u(i,1);
for(k=2:m-2)
a(k)=-r;b(k)=1+2*r;c(k)=-r;d(k)=u(i-1,k+1)+h2*f(i,k+1);
%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%
end
a(m-1)=-r;b(m-1)=1+2*r;d(m-1)=u(i-1,m)+h2*f(i,m)+r*u(i,m+1);
for(k=1:m-2) %开始解线性方程组 消元过程
a(k+1)=-a(k+1)/b(k);
b(k+1)=b(k+1)+a(k+1)*c(k);
d(k+1)=d(k+1)+a(k+1)*d(k);
end
u(i,m)=d(m-1)/b(m-1); %回代过程%
for(k=m-2:-1:1)
u(i,k+1)=(d(k)-c(k)*u(i,k+2))/b(k);
end
end
for(i=1:n+1)
for(j=1:m+1)
p(i,j)=exp(x(j)+t(i)); %p为精确解
e(i,j)=abs(u(i,j)-p(i,j));%e为误差
end
end
[u p e x t]=pwxywxh(0.1,0.005,10,200);
surf(x,t,e);
xlabel(x);ylabel(t);zlabel(e);
title(误差曲面);
plot(t,e)
误差较之前的欧拉向前差分格式 增长了两倍
[u p e x t]=pwxywxh(0.1,0.05,10,20);
plot(t,e)
[u p e x t]=pwxywxh(0.01,0.05,100,20);
plot(t,e)
[u p e x t]=pwxywxh(0.01,0.01,100,100);plot(t,e)
[u p e x t]=pwxywxh(0.01,0.005,100,200);plot(x,e)
[u p e x t]=pwxywxh(0.01,0.005,100,200);plot(t,e)
[u p e x t]=pwxywxh(0.005,0.005,200,200);
plot(x,e)
X=1时，出现了误差？？? 不是边界条件吗？不能理解 这方法还是比前一种方法误差大呀
不过可以随便改变时间、空间步长
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