工程电磁场数学预备知识.PDF

工程电磁场数学预备知识 工程电磁场 ——矢量与场论 南京航空航天大学 王世山 /?469261 1 标量场、矢量场及其运算 3 标量场的方向导数、梯度 4 矢量场的通量与散度 5 矢量场的环量与旋度 6 微分算子——哈米尔顿算子 8 场分布的形式 2 场的可视化——等值线、矢量线、云图 7 三种坐标系及其相关运算公式 9 参考文献 yxzyxT 32),,( 2 += zyx xyzzxxyzyx eeeA ++= 222),,( 1 标量场、矢量场及其运算 标量(Scalar)：只有大小，没有空间方向的量。如温度,电位等。 矢量(Vector)：不仅具有大小，而且具有空间方向的量； 合成规则：满足平行四边形法则。 矢量书写：印刷体采用黑体，手写加矢量标识， 如BEA ,, zyx xyzzxxyzyx eee ++= ++= 22 zy 2 x 2 2),,( exyzezxe2xyz)y,(x,A A zzyyxxzzyyxx BBBAAA eeeeee ++=++= BA , zzzyyyxxx BABABA eee )()( ±+±+±=± （）BA (2) 矢量数乘 zzyyxx AAA eee λλλλ ++=A (3) 矢量点乘 (Dot product, Scalar product) zzyyxx BABABAAB ++==• θcosBA B A θ θcosB 两矢量垂直 0=•BA (1) 矢量加减法 (4) 矢量叉乘(Cross product) zyx zyx zyx n BBB AAAAB eee e ==× θsinBA 两矢量平行 0=×BA A B A×B θ en A×B=-(B×A) A×A=0 (5) 矢量函数微分 z z y y x x dt dA dt dA dt dA dt d eee ++=A zzyyxx dAdAdAd eee ++=A 0=Cd dt d dt d dt d BAB)A += +( AAA) dt du dt du dt ud += ( BABAB)A ⋅+⋅=⋅ dt d dt d dt d ( BABAB)A ×+×=× dt d dt d dt d ( zzyyxx dttAdttAdttAdtt eee ])([])([])([)( ∫∫∫∫ ++=A ∫ ∫∫ +=+ dttdttdttt )()()]()([ BB AA 是常矢量）（CACAC )()( ∫∫ ⋅=⋅ dttdtt ( ) ( ) t dt t dt× = ×∫ ∫ （ 是常矢量）C A C A C (6) 矢量函数积分 (1) 标量场——等值线(面) 2 场的可视化——等值面(线)、矢量线、云图 曲面上，标量函数u(M)为常数，等值面。 u(x,y,z)=C 等值面与给定平面相交，得到在该平面上的等值线。 u(x,y,z)在xoy平面上的等值线方程 u(x,y,0)=C 要点 等值面表示标量场，相邻 两个等值面之差应为定值。 根据等值面的稀疏程度观 察场量的空间分布。 (2)矢量场矢量线 0d =× lA 矢量线：每一点处曲线的切线方向和该点 的场矢量方向相同。 zyx dzdydxd eee ++=l ：切线 zzyyxx AAA eee ++=A：场矢量 方向相同 zyx A dz A dy A dx == ——矢量线微分方程 计算机技术发展，可以可视化、形象化。 电位分布云图 电场强度矢量 (3)云图(Contour） 3 标量场的方向导数、梯度 标量函数u(x,y,z), 沿方向l的方向导数 M M0 lΔ l 0 00 0 |)()(| limlim 0 M MMMM M dl du l u l MuMu l u = Δ Δ = Δ − = ∂ ∂ →→ -------在一点M0处沿某一方向l对距离变化率，反映了函数u(M) 沿l方向增减的情况。 l z z u l y y u l x x u l u M ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 0 (1) 方向导数 的方向余弦直线l dl dz dl dy dl dx dzdydxd cos,cos,cos },,{ γβα === =l z u y u x u l u M ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ γβα coscoscos 0 l z z u l y y u l x x u l u M ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 0 方向导数的计算 zyx z u y u x u eee ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =G令}cos,cos,{cos γβα=le ),cos(|| lll u ee GGG =⋅