数值计算方法期末复习答案终结版..doc

名词解释 1．误差：设为准确值的一个近似值，称为近似值的绝对误差，简称误差。 2．有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。如果近似值的误差限是，则称准确到小数点后n位，并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。 4. 向量范数：设对任意向量，按一定的规则有一实数与之对应，记为，若满足 （1），且当且仅当； （2）对任意实数，都有； （3）对任意，都有 则称为向量的范数。 5. 插值法：给出函数的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数作为的近似的方法。 6相对误差：设为准确值的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值的相对误差，记为，即 7. 矩阵范数：对任意n阶方阵A，按一定的规则有一实数与之对应，记为。若满足 （1），且当且仅当； （2）对任意实数，都有； （3）对任意两个n阶方阵A,B,都有； （4） 称为矩阵A的范数。 8． 算子范数：设A为n阶方阵，是中的向量范数，则是一种矩阵范数，称其为由向量范数诱导出的矩阵范数，也称算子范数。 9. 矩阵范数与向量范数的相容性：对任意n维向量，都有 这一性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。 10. 范数，范数和范数： （1）范数 （2）范数 （3）范数 二、简答题 1．高斯消元法的思想是：先逐次消去变量，将方程组化成同解的上三角形方程组，此过程称为消元过程。然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解，此过程称为回代过程。 2. 迭代法的基本思想是：构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解得规则，由不同的计算规则得到不同的迭代法。 3. 雅可比（Jacobi）迭代法的计算过程（算法）： （1）输入，，维数n，，，最大容许迭代次数N。 （2）置 （3）对 （4）若，输出x停机；否则转5。 （5），置，转3，否则，输出失败信息，停机。 4. 插值多项式的误差估计：（P102） 由 当时，上式自然成立，因此，上式对上的任意点都成立，这就叫插值多项式的误差估计。 5. 反幂法的基本思想：设A为阶非奇异矩阵，，为A的特征值和相应的特征向量，则 的特征值是A的特征值的倒数，而相应的特征向量不变，即 因此，若对矩阵用幂法，，即可计算出的按模最大的特征值，其倒数恰为A的按模最小的特征值。 6. 雅可比（Jacobi）迭代法是：选取初始向量代入迭代公式 产生向量序列，由上述计算过程所给出的迭代法。 7. 数值计算中应注意的问题是： （1）避免两个相近的数相减 （2）避免大数“吃”小数的现象 （3）避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值 （4）要简化计算，减少运算次数，提高效率 （5）选用数值稳定性好的算法 8. 高斯消去法的计算量：由消去法步骤知，在进行第k次消元时，需作除法次，乘法次，故消元过程中乘除运算总量为 乘法次数 除法次数 在回代过程中，计算需要次乘除法，整个回代过程需要乘除运算的总量为 ，所以，高斯消去法的乘除总运算量为 9. 迭代法的收敛条件：对任意初始向量和右端项，由迭代格式 产生的向量序列收敛的充要条件是。 10. 迭代法的误差估计：设有迭代格式，若，收敛于，则有误差估计式。 计算题 1.假定运算中数据都精确到两位小数，试求的绝对误差限和相对误差限，计算结果有几位有效数字？ 解：由式和得 因为式中数据都精确到两位小数，即其误差限均为，故有  所以，的绝对误差限为0.0293，相对误差限为0.0054，计算结果有两位有效数字。 2.求矩阵的三角分解。 解：由式 ，， ， ， 所以 3．用幂法（）求矩阵的按模最大的特征值和相应的特征向量。取. （P77） 解： , ， 4. 已知函数，的值是10,11,12,13,14对应的的值分别是2.3026，2.3979, 2.4849, 2.56