《132利用导数研究函数的极值》-精选·课件.ppt

1.3.2 利用导数研究函数的极值 中国人民大学附属中学 * * 一、复习与引入: 上节课,我们讲了利用函数的导数来研究函数y=f(x)的单调性这个问题.其基本的步骤为: ①求函数的定义域; ②求函数的导数f ’(x) ; ③解不等式f ’(x)0得f(x)的单调递增区间; 解不等式f ’(x) 0得f(x)的单调递减区间. 函数在x=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个极大值； 函数在x=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。 右图为函数y=2x3－6x2+7的图象,从图象我们可以看出下面的结论: x 2 y 0 二、新课——函数的极值: 一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义, 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大, 我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值; 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小, 我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是对应的函数值. (2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. 请注意以下几点: (1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说极值与最值是两个不同的概念. o a X1 X2 X3 X4 b a x y (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示, x1是极大值点, x4是极小值点,而f(x4)f(x1). (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点. 在上节课中,我们是利用函数的导数来研究函数的单调性的.下面我们利用函数的导数来研究函数的极值问题. 由上图可以看出, 在函数取得极值处,如果曲线有切线的话, 则切线是水平的,从而有f ’(x) =0 .但反过来不一定. 如函数y=x3, 在x=0处, 曲线的切线是水平的, 但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小. 假设x0使f ’(x) =0 .那么在什么情况下x0是f(x)的极值点呢？ o a X00 b x y 如上图所示,若x0是f(x)的极大值点, 则x0两侧附近点的函数值必须小于f(x0) . 因此, x0的左侧附近f(x)只能是增函数, 即f ’(x) 0; x0的右侧附近f(x)只能是减函数, 即f ’(x) 0. o a X0 b x y 同理, 如上图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数, 即f ’(x) 0; 在x0的右侧附近只能是增函数, 即 f ’(x) 0. 从而我们得出结论:若x0满足f ’(x) =0, 且在x0的两侧的导数异号, 则x0是f(x)的极值点, f(x0)是极值,并且如果f ’(x)在x0两侧满足“左正右负”, 则x0是f(x)的极大值点, f(x0)是极大值; 如果f ’(x) 在x0两侧满足“左负右正”, 则x0是f(x)的极小值点, f(x0)是极小值. 从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0, 并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负; 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正. 一般地,当函数f(x)在x0处连续时, 判别f(x0)是极大(小)值的方法是: (1) 如果在x0附近的左侧 f ’(x) 0, 右侧f ’(x) 0, 那么, f(x0)是极大值; (2) 如果在x0附近的左侧f ’(x) 0, 右侧f ’(x) 0, 那么, f(x0)是极小值. 如何求函数的最大（小）值呢？ 假设y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点取得。由于可导函数在区间(a，b)内的极值只可能在使f ’(x)=0的点取得，因此把函数在区间端点的值与区间内使f ’(x)=0的点的值作比较，最大者必为函数在[a，b]上的最大值，最小者必为最小值。 求函数y=f(x)在[a，b]的最大（小）值步骤如下： （1）求函数f(x)在开区间(a，b)内所有使f ’(x)=0