2024年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（新教材新高考） 第14讲 拓展七：极值点偏移问题 (高频精讲）（原卷版+解析版）.pdf

第14讲拓展七：极值点偏移问题精（讲）

目录

第一部分：知识点必背2

第二部分:高考题回归3

第三部分：高频考点一遍过4

高频考点一：不含参数的极值点偏移问题4

方法一:对称化构造法4

方法二：利用韦达定理代换法令斗马=小±毛=，6

方法三：比值代换法8

高频考点三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题10

高频考点四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题12

第一部分：知识点必背

1、极值点偏移的含义

函数/（X）满足对于定义域内任意自变量X都有fM=/（2.r-x）,则函数/（x）关于直线X=对称.可

0

以理解为函数/*）在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若/（x）为单峰函数，则x=x°必为/幻（的极

值点，如图⑴所示，函数/（x）图象的顶点的横坐标就是极值点.%；

①若/（x）=。的两根为内，与，则愀好满足三苯二0,则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏

移如（图1）.

孙%24

（无偏移，左右对称，二次函数）（左陡右缓，极值点向左偏移）（左短右陡，极值点向右偏移）

若/Gq）=/a），则的+如=2*6若私）二人力则多+趣%•若ytq）=/如（），则XI+X22X0.

（1）⑵（3）

若当三。后，则极值点偏移.若单峰函数/幻（的极值点为与，且函数/制（满足定义域.》=.%左侧的任

意自变量了都有/@）/2（/一X）或/幻（〈）2（%—此，则函数/（4）极值点与左右侧变化快慢不同.如

图⑵（3）所示.故单峰函数/（X）定义域内任意不同的实数2，占，满足/耳（）=/七（），则土尹■与极值

点七必有确定的大小关系：若与弋三，则称为极值点左偏如图（2）；若玉〉美工，则称为极值

点右偏如图（3）.

2、极值点偏移问题的一般解法

2.1对称化构造法

主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下：

⑴定函数极（值点为小），即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点见.

（2）构造函数，即对结论X+Z2%型，构造函数尸（x）=/（x）-/（2%-幻或

P（x）=fx（+x）-fx（-x）:

00

⑶对结论X-寸型，构造函数F（x）=fx（）-〃殳），通过研究产幻（的单调性获得不等式.

X

⑷判断单调性，即利用导数讨论/。）的单调性.

⑸比较大小，即判断函数尸（X）在某段区间上的正负，并得出的大小关系.

⑹转化，即利用函数八X）的单调性，将/X（）与/2（/-x）的大小关系转化为工与2%-X之间的关系，进

而得到所证或所求.

2.2.差值代换法（韦达定理代换令与=/，七±々=/・）

差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之

差作为变量，从而实现消参、减元的目的.设法用差值一（般用/表示）表示两个极值点，即，=\一12,化

为单变的函数不等式