2．2拉氏变换和反变换.ppt

③ 实例： 注意：仅当0≤ξ1时，二阶系统才构成“振荡环节”； 而当ξ1时，二阶系统可理解为两个惯性环节串联。 (6)二阶微分环节 ① 微分方程： ② 传递函数： (7) 延迟环节 ① 微分方程： ② 传递函数： ⊙对于线性定常系统，传递函数是常用的数学模型，它是在拉氏变换的基础上建立的。 ⊙ 对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。 ★实例分析 P12 ★式（2.47）和（2.49）表明： 传递函数是复数s域中系统的数学模型，它仅取决于系统本身的结构及参数，而与输入的形式无关。 ★基本结论 传递函数的基本思想：传递函数是通过系统的输入量与输出量之间的关系来描述系统固有特性的，即以系统的外部特性来揭示系统的内部特性。 ⊙ 从微分方程可以求得传递函数 2．3．3 关于传递函数的几点说明 (1) 传递函数是经拉氏变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。 (2) 传递函数中各项系数值和相应微分方程中各项系数对应相等，完全决定于系统的结构参数。 (3) 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点是处于相对静止状态的。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律。 (4) 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，所以只适合于单输入单输出系统的描述，而且系统内部的中间变量的变化情况，传递函数也无法反映。 2.3.4 典型环节及其传递函数 ⊙ 控制系统一般由若干元件以一定形式连接而成的。 ⊙ 在控制工程中，常常将具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节，经常遇到的环节则称为典型环节。这样任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节组成。 1．环节的分类 ▼ 传递函数这种表达式含有六种不同的因子，一般说来，任何系统都可以看作这六种因子表示的环节的串联组合，这六种因子就是前面提到的典型环节。 ◆ 典型环节:比例环节、一阶微分环节、二阶微分环节、积分环节、惯性环节、振荡环节、延迟环节 2．典型环节示例 (1) 比例环节 ① 微分方程： ② 传递函数： 实例1.齿轮传动副 ③ 实例： 实例2.运算放大器 (2) 惯性环节 ① 微分方程： ② 传递函数： ③ 实例： 实例：弹簧－阻尼器组成的环节 (3)理想微分环节 ① 微分方程： ② 传递函数： ③ 实例： 实例1.测速发电机 s K s s U s G K dt d K t u u i i o i i i o o i = Q = - = ) ( ) ( ) ( ) ( 　　　 传递函数为： 发动机常数； 式中， 　　 为输出量，则 为输入量， 测速发动机： q q 实例2.无源微分电网络 (4) 积分环节 ① 微分方程： ② 传递函数： ③ 实例： 实例.电枢控制式小功率电动机 (5)振荡环节 ① 微分方程： ② 传递函数： 2．2．4 拉氏反变换 拉普拉斯反变换的公式为 1．部分分式展开法 2.2.5 应用拉氏变换解线性微分方程 2．2 拉氏变换和反变换 “机电控制工程”所涉及到的数学问题有: ______（拉普拉斯变换和复数） 求解线性微分方程 采用拉普拉斯正反变换就可实现； 功能： 拉普拉斯变换可将微积分运算转化为代数运算； 拉普拉斯变换能够把描述系统运动状态的微分方程很方便地转换为系统的传递函数。 2．2．1 拉氏变换的定义 函数f(t)的定义域为 t≥0 ，那么f(t)的拉普拉斯变换定义为： 1．单位阶跃函数1(t)的拉氏变换 [实例]：求f(t)=k的拉氏变换，记作:F(S)=L[k] [解]： 所以 同理 [实例]：求f1(t)=2sin(t)和f2(t)=2cos(t)的拉氏变换 4. 单位脉冲函数?(t)的拉斯变换 ⊙单位脉冲函数的数学表达式为: ⊙ 其拉氏变换式为: 泰勒级数 5．单位速度函数的拉氏变换 ⊙ 单位速度函数又称单位斜坡函数，其数学表达式为: 6．单位加速度函数的拉氏变换 ⊙ 单位加速度函数的数学表达式为 ⊙ 其拉氏变换式为 2.2.3 拉氏变换的主要定理 1．叠加定理 拉氏变换也服从线性函数的齐次性和叠加性。 [实例]：f1(t)=sin2t、f2(t)=cos3t求f(t)=3 f1(t)+ f2(t)的拉氏变换 2．微分定理 3．复微分定理（略） 4．积分定理 5．延迟定理 6．位移定理 7．初值定理 8.终值定理 设 L[f(t)]=F(S)，并且 存在，则 即原函数的终值等于S乘以象函数的初