4-22最大值最小值问题.doc

第4章 2.2 一、选择题 每小题5分，共20分 1．下列结论正确的是 A．若f x 在[a，b]上有极大值，则极大值一定是f x 在[a，b]上的最大值 B．若f x 在[a，b]上有极小值，则极小值一定是f x 在[a，b]上的最小值 C．若f x 在[a，b]上有极大值，则极大值一定在x＝a或x＝b时取得 D．若f x 在[a，b]上连续，则f x 在[a，b]上存在最大值和最小值 解析：　根据极值与最值的区别与联系作出判断． 答案：　D 2．函数f x ＝x2－4x＋1在[1,5]上的最大值和最小值分别是 A．f 1 　f 2 B．f 2 　f 5 C．f 1 　f 5 D．f 5 　f 2 解析：　f′ x ＝2x－4 令f′ x ＝2x－4＝0，x＝2 f 1 ＝－2，f 2 ＝－3 f 5 ＝6 最大值f 5 ，最小值f 2 ． 答案：　D 3．函数y＝的最大值为 A．e－1 B．e C．e2 D. 解析：　令y′＝＝＝0，得x＝e.当x e时，y′ 0；当x e时，y′ 0，y极大值＝f e ＝，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝. 答案：　A 4．已知某生产厂家的年利润y 单位：万元 与年产量x 单位：万件 的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 解析：　因y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9 当0 x≤9时，y′≥0，f x 为增函数 当x 9时，y′ 0，f x 为减函数 当x＝9时，y有最大值． 故选C. 答案：　C 二、填空题 每小题5分，共10分 5．函数y＝xex的最小值为________． 解析：　y′＝ x＋1 ex＝0，x＝－1.当x －1时，y′ 0； 当x －1时，y′ 0.ymin＝f －1 ＝－. 答案：　－ 6．已知f x ＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f x 的极大值，则m的取值范围是________． 解析：　f′ x ＝m－2x，令f′ x ＝0，则x＝， 由题设得[－2，－1]，故m[－4，－2]． 答案：　[－4，－2] 三、解答题 每小题10分，共20分 7．已知函数f x ＝x3－4x＋4. 1 求函数的极值； 2 求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值． 解析：　 1 f′ x ＝x2－4，解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2. 当x变化时，f′ x ，f x 变化情况如下表： x －∞，－2 －2 －2,2 2 2，＋∞ f′ x ＋ 0 － 0 ＋ f x   －  从上表看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为， 而当x＝2时，函数有极小值，且极小值为－. 2 f －3 ＝× －3 3－4× －3 ＋4＝7，f 4 ＝×43－4×4＋4＝， 与极值点的函数比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是，最小值是－. 8．已知函数f x ＝4x3＋ax2＋bx＋5的图像在x＝1处的切线方程为y＝－12x. 1 求函数f x 的解析式； 2 求函数f x 在[－3,1]上的最大值和最小值． 解析：　 1 f′ x ＝12x2＋2ax＋b. f′ 1 ＝12＋2a＋b＝－12. 又x＝1，y＝－12在f x 的图像上， 4＋a＋b＋5＝－12. 由，得a＝－3，b＝－18， f x ＝4x3－3x2－18x＋5. 2 f′ x ＝12x2－6x－18＝0，得x＝－1或，f －1 ＝16， f＝－， f －3 ＝－76，f 1 ＝－12. f x 的最大值为16，最小值为－76.  9． 10分 已知某工厂生产x件产品的成本为C＝25 000＋200x＋x2 元 ，问： 1 要使平均成本最低，应生产多少件产品？ 2 若产品以每件500元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？ 解析：　 1 设平均成本为y元，则 y＝ ＝＋200＋ x≥0 ， y′＝＋，令y′＝0，得x＝1 000或x＝－1 000 舍去 ．当0≤x 1 000时，y′ 0； 当x 1 000时，y′ 0，故当x＝1 000时，y取极小值，而只有一个点使y′＝0， 故函数在该点处取得最小值．因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品． 2 利润函数为S x ＝500x－ 25 000＋200x＋ ＝300x－25 000－， S′ x ＝300－，令S′ x ＝0，得x＝6 000.当0≤x 6 000时 S′ x 0；当x 6 000时，S′ x 0，故当x＝6 000时，S x 取极大值，而只有一个点使S′ x ＝0，故函数在该点处取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6