最大值与最小值.ppt

* * 函数的最大（小）值与导数 一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点。如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点。极大值与极小值统称为极值. 一、函数极值的定义 1、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y)。 注　意 2、极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 是极大值点， 是极小值点， 而 发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______ x X2 o a X3 b x1 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值. 二、 求函数f(x)的极值的步骤: (1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的根 (x为极值点.) 注意: 如果函数f(x)在x0处取得极值, 意味着 如y=x3 反之不一定成立！！！ 一.最值的概念(最大值与最小值) 如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x) ≤f(x0), 则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的 最大值. 最值是相对函数定义域整体而言的. 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一; 注意: 2.最大值一定比最小值大. 二.如何求函数的最值? (1)利用函数的单调性; (2)利用函数的图象; (3)利用函数的导数; 如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值. 如:求y=(x－2)2+3在区间[1,3]上的最值. (2)将y=f(x)的各极值与f (a)、 f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值 (1)求f(x)在区间[a,b]内极值(极大值或极小值) 利用导数求函数f(x)在区间[a,b] 上最值的步骤: 例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的最大值和最小值 法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理 例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内 的极值与最值 故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3， 最大值为11，最小值为2 法二、 解、 f ’(x)=2x-4 令f ’(x)=0，即2x-4=0， 得x=2 y 0 y， 5 （2,5） 2 （1,2） 1 x - + 3 11 2 例2、求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1，4]内的最大值和最小值 解:f ′(x)=2x- 4 令f′(x)=0，即2x–4=0， 得x =2 0 4 （2，4） 2 （-1,2） -1 x - + 8 3 -1 故函数f (x) 在区间[-1，4]内的最大值为8，最小值为-1 课本练习 例3、求 函数在区间 上的最大值与最小值。 解：先求导数得， 令 ＝0即 解得 导数 的正负以及 ，如下表 13 4 5 4 13 y ＋ 0 － 0 ＋ 0 _ y/ 2 （1，2） 1 （0，1） 0 （－1，0） -1 （－2，-1） －2 X 从上表知，当 时，函数有最大值13，当 时，函数有最小值4 函数 ，在［－1，1］上的最小值为( ) A.0 B.－2 C.－1 D.13/12 A 练 习 思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5]内的最小值为2，求m的值 例2、 解：