函数的极值-最大值与最小值.pptx

第四节 函数的极值和最大、最小值 一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题第1页，共23页。(1) 成立, 则称 为 f(x)的极大值, 称 为f(x)的极大值点；(2) 成立, 则称 为f(x)的极小值, 称 为f(x)的极小值点；一、函数的极值1. 极值的定义定义 设函数f(x)在x0的某邻域内有定义, 如果对于该邻域内任何异于x0的x都有极大值、极小值统称为极值. 极大值点、极小值点统称为极值点.第2页，共23页。注意:1) 函数的极值是函数的局部性质.2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或不存在的点上.为极大点为极小点不是极值点第3页，共23页。对任意的 都有当 时,当 时,2. 极值存在的必要条件定理1 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ?(x0)?0. 证明:以f(x0)是极大值来证明.因为f(x0)是极大值, 故在x0的某邻域内,所以,所以所以第4页，共23页。 使导数f ?(x)为零的点(方程f ?(x)?0的实根)称为函数f(x)的驻点. 思考: 极值点是否一定是驻点? 驻点是否一定是极值点?第5页，共23页。3. 极值的判别法定理2 (第一充分条件) 设函数y=f(x)在点x0连续, 且在x0的某邻域内可导(点x0可除外). 如果在该邻域内 如果f(x)在x0的两侧保持相同符号, 则x0不是f(x)的极值点.第6页，共23页。当 时, f(x)单调增加,当 时, f(x)单调减少,说明:对于情形(1)，由判别定理可知,因此可知x0为f(x)的极大值点.同理可说明情形(2).第7页，共23页。判定函数极值一般步骤(3) 判定每个驻点和导数不存在的点两侧(在xi 较小的邻域内)的符号, 依定理判定xi 是否为f(x)的极值点.第8页，共23页。(0, 1)1x0y例1.所给的函数定义域为解:–++00非极值极小0可知x=0为y的极小值点, 极小值为0.第9页，共23页。x(??? ?1)?1(?1? 1)1(1? ??) f ?(x) f(x)???不可导0↘↗↗0例2.(1) f(x)在(??? ??)内连续? 除x??1外处解: 可导? 且 (2) 令f ?(x)?0?x??1为不可导点?得驻点x?1?(3) 列表判断第10页，共23页。定理3 (第二充分条件) 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数, 且则证: (1)存在x0的某邻域, 使同理证(2).由判别法1知第11页，共23页。　说明: 当二阶导数易求, 且驻点x0处的二阶导数 　 时, 利用判定极值的第二充分条件判定驻点 是否为极值点比较方便.但当 f ??(x0)?0时? 只能用方法1判断.第12页，共23页。例3. 求函数f(x)?(x2?1)3?1的极值? f ?(x)?6x(x2?1)2? 解:令f ?(x)?0?求得驻点x1??1? x2?0? x3?1? f ??(x)?6(x2?1)(5x2?1)? 所以f (x)在x?0处取得极 因为f ??(0)?6?0?小值? 极小值为f(0)?0? 因为f ??(?1)?f ??(1)?0?无法用定理3-8判别?在?1的左右邻域内f ?(x)?0?所以f(x)在?1处没有极值?同理, f(x)在1处也没极值? 第13页，共23页。Mmx1x2x3x4x5二、最大值最小值问题 观察与思考： 观察下面的函数在哪些点有可能成为最大值或最小值点? 怎样求函数的最大值和最小值? 第14页，共23页。Mmx1x2x3x4x5极值与最值的关系: 闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间端点及区间内的极值点处取得. 函数在闭区间[a? b]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大者; 其最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者? 第15页，共23页。Mmx1x2x3x4x5最大值和最小值的求法: (1)求出函数f(x)在(a? b)内的驻点和不可导点? 设这些点为x1? x2? ? ? ? ? xn; (2)计算函数值 f(a)? f(x1)? ? ? ? ? f(xn)? f(b) ; (3)判断: 最大者是函数f(x)在[a? b]上的最大值? 最小者是函数f(x)在[a? b]上的最小值?第16页，共23页。在例4. 求上的最大值与最小值.解:令得驻点因为所以第17页，共23页。100kmAB￡￡. =++-(0x100) y5k400x3k(1