ch3.3-4.5.6.7函数的极值与最大值最小值.ppt

中值定理与导数的应用 三、曲线凹凸的定义 四、曲线凹凸的判定 五、曲线的拐点及其求法 一、函数极值的定义 二、函数极值的求法 三、最值的求法 四、应用举例 曲线的渐近线 二、图形描绘 三、弧微分 四、曲率及曲率半径 五、小结 规定： 单调增函数 如图， 弧微分公式 ? 记： 则有： ? ? 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 ) ) 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1.曲率的定义 ) ) y x o （ 设曲线C是光滑的， （ 定义 曲线C在点M 处的曲率 解 运用零点定理, 故方程存在一根 又在区间(0,1/a)上，f (x)单调递增；在区间(1/a，+?)上，f (x)单调递减， 所以方程lnx=ax有两个根. 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 定义 定理 例6 解 注意到, 1.定义 2.拐点的求法 方法: 例7 解 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 例8 解 注意: 一、函数极值的定义 二、函数极值的求法 §5 函数的极值与最大值最小值 三、最值的求法 四、应用举例 五、小结 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 定理1(必要条件) 定义 注意: 例如, 定理2(第一充分条件) (是极值点情形) 求极值的步骤: (不是极值点情形) 例1 解 列表讨论 极大值 极小值 定理3(第二充分条件) 注意： 第二充分条件只适合于在x0处一阶导数为零而二阶导数不为零的情形； 例2 解 注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 例3 解 注：最值点不一定是内点. 步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就是最小值; 注意:1、如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值) 2、如果在实际问题中，f(x)在定义区间内只有一个驻点x0，且根据问题本身的实际情况,f(x)一定有最值且一定在区间的内部（开区间）获得，则x0就是最值点(最大值点或最小值点)。否则按一般函数处理。 例4 解 计算 比较得 例5 　　要建造一个体积V为50m3的有盖圆柱形水池，问水池的高和底的半径比例为多少时，用料最省？ 解 (1)建立圆柱形水池表面积函数关系式 则圆柱形水池表面积函数 设水池底半径为r，高为h， 则表面积 由已知： 得唯一驻点 由问题的实际意义，唯一驻点即为最小值点 实际问题求最值一般步骤: (1)建立目标函数——实际问题中变量间的关系; (2)求最值——将实际问题转化为求目标函数在相应区间上的最值问题; 根据已知条件，将目标函数表示成关于一个变量的函数。 铅直渐近线 水平渐近线 斜渐近线 利用函数特性描绘其图形. 基本步骤 2、求驻点、拐点、间断点及导数不存在的点把函数的定义域划分成几个子区间. 4、确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势; 3、确定函数的增减性及凹凸性（列表讨论） 解 非奇非偶函数,且无对称性. 不存在 拐点 极值点 间断点 列表 * *