平面向量基本定理导学案.docx

6．3.1平面向量基本定理学案

学习目标

1．理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义．2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量．3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．

情境导入

共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来．那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？

如图所示，已知a，b，c，d，e，f的始点相同，你能分别将c，d，e，f写成向量a，b的线性运算吗？

新知探究

知识点一平面向量基本定理

问题引导

1.如图所示，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量．请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量．

2．上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？

知识点总结

平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

典例探究

例1(1)设e1，e2是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()

A．e1＋e2和e1－e2

B．3e1－4e2和6e1－8e2

C．e1＋2e2和2e1＋e2

D．e1和e1＋e2

(2)(多选)如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么在下列叙述中正确的有()

A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量

B．对于平面内的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对

C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数m，使λ1e1＋μ1e2＝m(λ2e1＋μ2e2)

D．若存在实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0

变式训练

1．(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，则下列向量可作为这个平行四边形所在平面内所有向量的一个基底的是()

A．eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))

C．eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→)) D．eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))

知识点二用基底表示向量

知识点总结

基底

若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．

典例探究

例2如图所示，在平行四边形OADB中，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→)).

试用a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))及eq\o(MN,\s\up6(→)).

变式训练

2.如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，试用{a，b}为基底表示eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→)).

思维提升

平面向量基本定理的应用

例3如图，在菱形ABCD中，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝2eq\o(FD,\s\up6(→)).

(1)若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，求3x－2y的值；

(2)若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，∠BAD＝60°，求eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→)).

变式训练

3.如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c.

(1)用a，c表示向量eq\o(AE,\s\up6(→))；

(2)若点F在AC上，且eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(4,5)c，求AF∶CF.

课堂小结

1.知识网络

2．方法归纳

利用基底进行运算时，要借助几何直观，灵活运用几何性质，体现了数形结合的思想方法．

3．易错提醒

要注意基底中的两个向量是不共线的．

课堂练习

1．(