平面向量基本定理导学案答案.docx

6．3.1平面向量基本定理学案

学习目标

1．理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义．2.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量．3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．

情境导入

共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来．那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？

如图所示，已知a，b，c，d，e，f的始点相同，你能分别将c，d，e，f写成向量a，b的线性运算吗？

新知探究

知识点一平面向量基本定理

问题引导

1.如图所示，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量．请你将向量a分解成图中所给的两个方向上的向量．

提示：在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1，eq\o(OB,\s\up6(→))＝e2，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a，然后过点C分别作eq\o(OB,\s\up6(→))和eq\o(OA,\s\up6(→))所在直线的平行线，交eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))所在直线于M，N两点，如图所示，则有eq\o(OM,\s\up6(→))＝λ1e1，eq\o(ON,\s\up6(→))＝λ2e2，所以a＝λ1e1＋λ2e2.

2．上述问题中的分解方法是否唯一？为什么？

提示：分解方法唯一．事实上，若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，

则λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，

即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2.

因为e1与e2不共线，所以λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，所以λ1＝μ1，λ2＝μ2.因此，分解方法是唯一的．

知识点总结

平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

典例探究

例1(1)设e1，e2是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()

A．e1＋e2和e1－e2

B．3e1－4e2和6e1－8e2

C．e1＋2e2和2e1＋e2

D．e1和e1＋e2

解析：B在B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．

(2)(多选)如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么在下列叙述中正确的有()

A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量

B．对于平面内的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对

C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数m，使λ1e1＋μ1e2＝m(λ2e1＋μ2e2)

D．若存在实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0

解析：AD由平面向量基本定理可知，A，D正确．对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于C，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，m有无数个．

变式训练

1．(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，则下列向量可作为这个平行四边形所在平面内所有向量的一个基底的是()

A．eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))

C．eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→)) D．eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))

解析：ACeq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))不共线；

eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))，则eq\o(DA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))共线；eq\o(CA,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))不共线；eq\o(OD,\s\up6(→))＝－eq\o(OB,\s\up6(→))，则eq\o(OD,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))共线．由基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成平面内所有向量的一个基底，故A、C满足题意．

知识点二用基底表示向量

知识点总结

基底

若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．

典例探究

例2如图所示，在平行四边形OADB中，设eq\o