4_3二维正态分布.ppt

第三节 二维正态分布;记为(X ,Y )～;二维正态分布的分布曲面它的形状类似山岗，在点;二维正态分布(X,Y)的概率密度函数f(x,y)满足:;其中 ;置换积分变量 ，得到;因为 ;下面计算二维正态分布的中X与Y的相关系数;化为累次积分，得到;;代入;求证: X与Y独立? r=0;∴ X与Y独立;“?” ;例1 设X和Y相互独立，并且都服从标准之态分布，求它们的平方和Z=X2+Y2的概率密度;解：;当z≤0时，显然， FZ(z)=0；当z0时，;由此Z的概率密度为;例2 设X和Y相互独立，并且都服从标准之态分布，求它们的平方和Z=X2+Y2的数学期望和方差;法1求出Z密度函数，直接随机变量期望的定义求期望和方差. 在例1中求得了Z的概率密度;为计算Z的方差，先计算;置换积分变量;法2 利用(X,Y)的联合密度，并应用随机变量 函数的期望定义求定义和方差 . 由例1知(X,Y) 的联合概率密度;由极坐标变换公式可得;置???积分变量;由极坐标变换公式可得;由公式 D(Z)=E(Z2)-[E(Z)]2可得;法3 根据§4.2例的结论利用随机变量和的期 望以及方差性质;