第四讲非对称矩阵的特征值问题.pdf

第四章 非对称特征值问题 设 是一个非对称的稠密矩阵, 本章主要讨论如何计算 的全部特征值和特征 向量. 记 的特征值为 . 本章中我们总是假定 即 的特征值按绝对值（模）降序排列. 本章主要介绍以下方法： 幂迭代算法 位移策略与反迭代技巧 正交迭代法 QR 算法 Hessenberg 矩阵与实用的QR 算法 4-2 关于稠密矩阵特征值计算的参考资料有： J.H.Wilkinson,eAlgebraicEigenvalueProblem,1965[38](有中文翻译) B.N.Parlett,eSymmetricEigenvalueProblem,2ndEds.,1998[26] G.W.Stewart,MatrixAlgorithms,VolII:Eigensystems,2001[32] 4-3 4.1 幂迭代 4.1.1 幂迭代算法 幂迭代是计算特征值和特征向量的一种简单易用的算法. 幂迭代虽然简单, 但它却建立 了计算特征值和特征向量的算法的一个基本框架. 算法4.1 幂迭代算法(PowerIteration) 1: Chooseaninitialguess with ∥ ∥ 2: set 3: while notconvergence do 4: 5: ∥ ∥ 6: % 内积 7: 8: endwhile 下面讨论幂迭代的收敛性. 假设 (1) 是可对角化的, 即 , 其中 , 4-4 , 且 ∥ ∥ ( ). (2) 同时, 我们还假设 . 由于 非奇异, 所以它的列向量组构成 的一组基. 因此迭代初始向量 可表示 为 我们假定 ̸ , 即 不属于不变子空间 (由于 是随机选取的, 从 概率意义上讲, 这个假设通常是成立的). 于是我们可得 ( )