确实对称矩阵特征值问题的并行算法.pdf
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第四讲非对称矩阵的特征值问题.pdf
第四章 非对称特征值问题
设 是一个非对称的稠密矩阵, 本章主要讨论如何计算 的全部特征值和特征
向量. 记 的特征值为 . 本章中我们总是假定
即 的特征值按绝对值（模）降序排列.
本章主要介绍以下方法：
幂迭代算法
位移策略与反迭代技巧
正交迭代法
QR 算法
Hessenberg 矩阵与实用的QR 算法
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矩阵乘法并行算法分析 矩阵乘法的串行算法 矩阵乘法的并行算法 块矩阵乘法中常用算法分析 实验 总结 矩阵乘法的串行算法 基本计算方式 算法实现 算法分析 矩阵乘法的串行算法 基本计算方式： 算法实现： for (i=0; in; i++) for (j=0; jn; j++) for (l=0; ln; l++) c[i][j]=c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]； 矩阵乘法的串行算法 算法分析： 该算法需要进行n3个乘法运算和n3个加法运算，顺序代码的时间复杂度为O(n3)。 矩阵乘法的并行算法 引入原因 解决手段 块矩阵算法 矩阵乘法的并行算法
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稠密矩阵LU分解的并行算法探讨如何利用并行计算来加速稠密矩阵的LU分解过程,提高计算效率并满足实时数据处理的需求。作者：
简介实时数据处理稠密矩阵LU分解是处理大规模实时数据流的关键技术之一。高性能计算传统LU分解算法计算量大,难以满足实时性要求,需要并行优化。算法优化本报告将介绍一种高效的并行LU分解算法,并分析其性能和应用前景。
矩阵LU分解的基本原理矩阵分解LU分解是将一个矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积的过程。这种分解可以简化矩阵运算并提高计算效率。消元过程LU分解通过行变换(消元)的方式，将矩阵转换为L和U两个矩阵。这个过程会一步步构建出L和U的元素。数值稳定性LU分解算法
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β3=α3-β2=+=,再将单位化，得γ1=,γ2=,γ3=.由构成正交矩阵Q=(γ1,γ2,γ3)=,有=.第64页,共71页，2024年2月25日，星期天例4设三阶实对称矩阵A的特征值为(二重),A的对应于的特征向量为,求A.解因为A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q,使设对应于A的二重特征值的线性无关的特征向量为.则和都与正交.第65页,共71页，2024年2月25日，星期天设与正交的向量为,则=(0,1,1)解此方程组得基础解系由于与正交，故只需将单位化：第66页,共71页，2024年2月25日，星期天β1=,β2=,β3=构造矩阵Q=(β1,β2,β3)=,Λ=,则Q为正交矩阵，且QA
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矩阵的特征值问题.ppt
例1已知A=与B=(1)求x和y;(2)求一个可逆矩阵P,使P-1AP=B.解(1)方法一由于A~B,故|λE-A|=|λE-B|,即=,从而(λ-2)(λ2-xλ-1)=(λ-2)(λ-y)(λ+1),将λ=-1代入得x=0.于是有λ2-1=(λ-y)(λ+1).因此，y=1.相似.第31页，共71页，星期日，2025年，2月5日可分别求得A的对应于特征值2,1,-1的特征向量,α2=,α3=.于是，可逆矩阵P=(α1,α2,α3)=,可使P-1AP=B.方法二由于A~B,故|A|=|B|,trA=trB，即有-2=-2y,2+x=1+y,解得x=0,y=1.=(2)由于A~B,故A与B有相
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R对称矩阵的左右逆特征值问题及其可解条件.pdf
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求矩阵特征值算法及程序.doc
求矩阵特征值算法及程序简介
1.幂法
1、幂法规范化算法
（1）输入矩阵、初始向量，误差；
（2）；
（3）计算；
（4）；
（5）；
（6）如果,则显示特征值和对应的特征向量),终止；
（7）,转（3）
注：如上算法中的符号表示取向量中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。
2、规范化幂法程序
Clear[a,u,x];
a=Input[系数矩阵A=];
u=Input[初始迭代向量u(0)=];
n=Length[u];
eps=Input[误差精度eps =];
nmax=Input[迭代允许最大次数nmax=];
fmax[x_]:=Modul
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并行计算矩阵特征值计算.doc
9 矩阵特征值计算
在实际的工程计算中，经常会遇到求 n 阶方阵 A 的特征值(Eigenvalue)与特征向量(Eigenvector)的问题。对于一个方阵 A，如果数值 λ 使方程组
Ax=λx
即 (A-λIn )x=0 有非零解向量(Solution Vector)x，则称λ为方阵A的特征值，而非零向量x为特征 值λ所对应的特征向量，其中In 为n阶单位矩阵。
由于根据定义直接求矩阵特征值的过程比较复杂，因此在实际计算中，往往采取一些 数值方法。本章主要介绍求一般方阵绝对值最大的特征值的乘幂(Power)法、求对称方阵特 征值的雅可比法和单侧旋转(One-side Rotatio
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关于实对称矩阵的特征值和特征向量由于，对最后一式取复数转置，得到两边再右乘，得到所以有特征值都是实数。这样，是实数。由的任意性，实对称矩阵的特征向量都是实数向量。附注：进一步地有，实对称矩阵的属于特征值的一、实对称矩阵特征值的性质定理4.12实对称矩阵的特征值都是实数。第2页,共16页，2024年2月25日，星期天对上面第一式两边左乘，的特征向量。定理4.13实对称矩阵的属于不同特征向量相互正交。证明：特征值的设，是实对称矩阵的不同特征值，，分别是属于特征值，于是，得到（4.12）而于是有这样，由得到是正交的。，即与第3页,共16页，2024年2月25日，星期天特征向量相互正交的线性无关组。【
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实对称矩阵的特征值及特征向量.ppt
§3.3 实对称矩阵特征值和特征向量;由于 ，;对上面第一式两边左乘 ，;特征向量相互正交的线性无关组。;为 矩阵。 ;;并且;对每个 ,;;;即求解;把;的属于0的特征向量为;将它们单位化：;;
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3.3实对称矩阵特征值和特征向量于是，(4.11)永远可以对角化。实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。这类矩阵的最大优点是特征值都是实数，定理4.12实对称矩阵的特征值都是实数。一、实对称矩阵特征值的性质是阶实对称矩阵，是矩阵的在复数域上的任一特征值，属于的特征向量为两边取复数共轭得到则，证明：设由于，对最后一式取复数转置，得到两边再右乘，得到所以有特征值都是实数。这样，是实数。由的任意性，实对称矩阵的特征向量都是实数向量。附注：进一步地有，实对称矩阵的属于特征值的一、实对称矩阵特征值的性质定理4.12实对称矩阵的特征值都是实数。实对称矩阵对上面第一式两边左乘，的特征向量。定理4.13的属于不
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实对称矩阵的特征值和特征向量(简).ppt
4.3实对称矩阵实数域上的称为实对称矩阵.如A为对称矩阵本节证明：实对称矩阵且对任一实对称矩阵A，存在正交矩阵Q，使得的特征值和特征向量一定可以对角化，对称矩阵
定理4.12都是实数.一、实对称矩阵实对称矩阵的特征值说明：若A是实数域上的则都是实数.对称矩阵，的特征值的性质
定理4.13则证即A是实对称矩阵,是相互正交的.特征向量A的两个特征值对应于不同特征值的实对称矩阵的
定理4.14是对角矩阵.定理4.14′则存在n阶正交设A是n阶实对称矩阵,矩阵Q,使得是对角矩阵.则存在n阶正交设A是n阶实对称矩阵,矩阵Q,使得
1例2特征值:3特征向量:5将它们单位化6令8为单位正交向量组7Q为正交矩
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实对称矩阵的特征值和特征向量.ppt
* * §4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量 实对称矩阵: 对称的实矩阵. 1.(定理4.12)实对称矩阵的特征值都是实数. 推论 实对称矩阵的特征向量都是实向量. 共轭矩阵: 性质: 实对称矩阵的性质: 2.(定理4.13)实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交. 定理4.4 矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关. 定理2.15 正交向量组必线性无关. 推论 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关. 3.实对称矩阵的属于ni重特征值的线性无关的特征向量恰有ni个. 4. n 阶实对称矩阵恰有n个线性无关的特征向量, 进而有n个单位正交的特征向量. 5. 实对
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第1页，共16页，星期日，2025年，2月5日由于，对最后一式取复数转置，得到两边再右乘，得到所以有特征值都是实数。这样，是实数。由的任意性，实对称矩阵的特征向量都是实数向量。附注：进一步地有，实对称矩阵的属于特征值的一、实对称矩阵特征值的性质定理4.12实对称矩阵的特征值都是实数。第2页，共16页，星期日，2025年，2月5日对上面第一式两边左乘，的特征向量。定理4.13实对称矩阵的属于不同特征向量相互正交。证明：特征值的设，是实对称矩阵的不同特征值，，分别是属于特征值，于是，得到（4.12）而于是有这样，由得到是正交的。，即与第3页，共16页，星期日，2025年，2月5日特征向量相互正交的