求矩阵特征值算法及程序.doc
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求矩阵特征值算法及程序简介
1.幂法
1、幂法规范化算法
（1）输入矩阵、初始向量，误差；
（2）；
（3）计算；
（4）；
（5）；
（6）如果,则显示特征值和对应的特征向量),终止；
（7）,转（3）
注：如上算法中的符号表示取向量中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。
2、规范化幂法程序
Clear[a,u,x];
a=Input[系数矩阵A=];
u=Input[初始迭代向量u(0)=];
n=Length[u];
eps=Input[误差精度eps =];
nmax=Input[迭代允许最大次数nmax=];
fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2},
Do[m1=Abs[x[[k]]];
If[m1m,m2=x[[k]];m=m1],
{k,1,Length[x]}];
m2]
v=a.u;
m0=fmax[u];
m1=fmax[v];
t=Abs[m1-m0]//N;
k=0;
While[tepsknmax,
u=v/m1;
v=a.u;
k=k+1;
m0=m1;
m1=fmax[v];
t=Abs[m1-m0]//N;
Print[k=,k, 特征值=,N[m1,10], 误差=,N[t,10]];
Print[ 特征向量=,N[u,10]]];
If[k?nmax,Print[迭代超限]]
说明：本程序用于求矩阵按模最大的特征值及其相应特征向量。程序执行后，先通过键盘输入矩阵、迭代初值向量、精度控制和迭代允许最大次数，程序即可给出每次迭代的次数和对应的迭代特征值、特征向量及误差序列，它们都按10位有效数输出。其中最后输出的结果即为所求的特征值和特征向量序列。如果迭代超出次还没有求出满足精度的根则输出迭代超限提示，此时可以根据输出序列判别收敛情况。
程序中变量说明
a:存放矩阵；
u:初始向量和迭代过程中的向量及所求特征向量；
v:存放迭代过程中的向量；
m1:存放所求特征值和迭代过程中的近似特征值；
nmax:存放迭代允许的最大次数；
eps:存放误差精度；
fmax[x]: 给出向量x中绝对值最大的分量；
k:记录迭代次数；
t1:临时变量；
注：迭代最大次数可以修改为其他数字。
3、例题与实验
例1. 用幂法求矩阵
的按模最大的特征值及其相应特征向量，要求误差。
解：执行幂法程序后在输入的四个窗口中按提示分别输入:
{{133,6,135},{44,5,46},{-88,-6,-90}}、{1,1,1}、0.0001、20
每次输入后用鼠标点击窗口的“OK”按扭，得如下输出结果：
此结果说明迭代6次，求得误差为0.0000101442的按模最大的特征值为44及其对应的一个特征向量:{1.000000000,0.3333333371,-0.6666666704}
2.反幂法
1、 反幂法规范化算法
（1）输入矩阵、初始向量，误差；
（2）；
（3）计算求出解；
（4）；
（5）；
（6）如果,则显示特征值和对应的特征向量),终止；
（7）,转（3）
注：如上算法中解方程可以使用Dololittle分解法。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。
2、规范化反幂法程序
Clear[a,u,x];
a=Input[系数矩阵A=];
u=Input[初始迭代向量u(0)=];
n=Length[u];
eps=Input[误差精度eps =];
nmax=Input[迭代允许最大次数nmax=];
fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2},Do[m1=Abs[x[[k]]];
If[m1m,m2=x[[k]];m=m1],{k,1,Length[x]}];
m2];
v=a.u;
a1=Inverse[a];
m0=fmax[u];
m1=fmax[v];
t=Abs[m1-m0]//N;
k=0;
While[tepsknmax,u=v/m1;
v=a1.u;
k=k+1;
m0=m1;
m1=fmax[v];
t=Abs[m1-m0]//N;
t1=Abs[1/m1-1/m0]//N;
Print[k=,k, 特征值=,N[1/m1,10], 误差=,N[t1,10]];
Print[ 特征向量=,N[u,10]]];
If[k?nmax,Print[迭代超限]]
说明：本程序用于求矩阵按模最小的特征值及其相应特征向量。程序执行后，先通过键盘输入矩阵、迭代初值向量、精度控制和迭代允许最大次数，程序即可给出每次迭代的次数和对应的迭代特征
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