第5章矩阵的特征值、.ppt

;5.3相似矩阵与方阵的对角化;1) 反身性 :任意方阵A,都有A~A；;定理5.3.1：若A~B，则R(A)=R(B ).;定理5.3.2： ; 推论5.3.1 若n阶矩阵A与对角矩阵;容易推证:若A=PBP-1，则Ak=PBkP-1,;矩阵 ;相似变换的意义;定理5.3.3 n阶矩阵A与对角阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量? 推论 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等(单根）? 则A与对角阵相似? ;设P?1AP ? ?? 则AP ? P?? ;反之? 由于A恰好有n个特征值?i ? 如果可对应地求得n个线性无关的特征向量 pi ? ;定理的证明过程告诉我们:当n阶矩阵A相似对角矩阵时,;注意： 由于一个矩阵的特征向量是不惟一的，所以当方阵相似于对角矩阵时，相似因子是不惟一的，但是能与A相似的对角矩阵，除主对元素的相互次序可能不同之外，是由矩阵A的特征值完全确定的.;A能否对角化？若能对角;所以 可对角化.; 例2 设矩阵A与B相似,其中;(2) 由于A~B,所以A的特征值为;～;问当k为何值时,存在可逆矩阵P,使得P-1AP为对角阵，并求出 P和相应的对角阵。;～;因此,当 k = 0 时,令;小结:本节定义了相似矩阵和相似变换,证明了相似矩阵的性质