浙江大学2006年数学分析试卷解答.pdf

2006 2006 浙江大数学分析试卷解答 1 1 1 一、(20分)(1)证明数列x =1+ + +...+ −logn收敛,其中log表示以e为底的对数； n 2 3 n 1 1 1 (2)计算lim + +...+ n→∞ n+1 n+2 2n 证明：（1）令x − x = a ，n=1,2,3,，这里不妨设x = 0， n n−1 n 0 n +∞ 所以可以得到x = a ，所以数列x 的收敛性和级数 a 的收敛性相同 n ∑ i n ∑ n i=1 n=1 1 1 注意到a = −log(1+ ) n= 2,3,... ,下面证明一个结论： n n n−1 1 1 1 log(1+ ) ， n n−1 n−1 1 事实上，因为 log(1+ )= logn− log(n−1)，由中值定理，存在ξ∈(n−1,n)，使得 n−1 1 1 1 1 logn− log(n−1)= ， ，所以得证 ξ n ξ n−1 1 1 ∞ 1 1 所以级数是一个负项级数，且 − a 0，而级数 ( − )显然是收敛的，所以 n ∑ n n−1 n=2 n n−1 数列收敛. 证毕 1 （2）考虑 f(x)= ，该函数在[0，1]上是Riemann可积的，由Riemann积分的定义可以 1+ x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 知道lim( + +... )= lim ( + +.. )=∫0 dx= ln2.解毕 n→∞ n+1 n+ 2 2n n→∞ n 1 2 n 1+ x 1+ 1+ 1+ n n n 二、(15分)函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，存在收敛于零的数列r,使得对任意的x， k f(x+ r)+ f(x− r)− 2f(x) lim k k = 0.