华东师范大学204数学分析解答.doc

华东师范大学2004数学分析 博士家园顾问wuledan416 一、（30分）计算题。 1、求 解： 2、若求. 解： 3、求. 解： -- 4、求幂级数的和函数. 解:时 + - 5、为过和的曲线,求 +++ 6、求曲面积分,其中,取上侧. 解：应用Gauss公式，并应用极坐标变换得： . 二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例） 1、若是互不相等的非无穷大数列，则至少存在一个聚点 正确。在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集至少存在一个聚点 2、若在上连续有界，则在上一致连续. 正确。 证：在上连续有界，故与都有存在，不妨设为. 设 则在上连续，从而一致连续，故在上一致连续。 3、若,在上可积，则. 正确。 证：,在上可积，故对且在上也可积，对 故 两边对分别取极限 由夹逼性知 . 4、若收敛，则收敛. 错误。反例 收敛,但发散. 5、若在上定义的函数存在偏导数, 且,在 0,0 上连续，则在 0,0 上可微. 正确 证： 有,在 0,0 上连续， , 当 时，， 根据定义，可知在 0,0 上可微. 6、在上连续, 若 则 解：错误 将划分为两部分，其中 取, 由积分区间可加性知 三、（15分）函数在上连续，且 求证：在上有最大值或最小值。 证：1 若，显然在同时有最大、最小值. 2 否则当或时 定义 ，存在, 使得 或, 或 不妨设 , 1 由在上连续,所以在上连续，由最值定理知存在,使得最大（或最小）.由（1）知 因此当 时, 在上有最大值或最小值。 四、（15分）求证不等式: 证：令, 则,对,有 , 因此 在上单调递减且连续, 又 . 故由介值定理知存在,使得 那么在上单调递增, 在上单调递减. 因此可在端点处取得最小值, 又. 所以在上 , 即 五、设,在上连续,且在上一致收敛于.若,.求证:使,, 证:由函数列的每一项在连续且一致收敛于,可知在上也连续,因此有界.不妨设 , 因为对任意,有 . 所以 在上一致收敛于,即对对有 当取 时,有 对上述 则 1 式成立,且 六、（15分）设满足（1）（2）级数收敛. 求证:. 证：级数收敛，由级数收敛的柯西准则：对任何,有 1 由于 那么 2 而当充分大时, 成立，故 因此有 . 七、（15分）若函数在上一致连续，求证：在上有界. 证:1 对,当充分大时,对且满足时有 由极限存在的柯西准则知存在,不妨设为, 对 1 式中取极限,有 则 存在,当时 2 因为在上一致连续,则在上连续,所以在上有界. 即存在有 那么对有 3 存在 2 , 3 同时成立. 即对 有 . 八、（15分）设在有连续偏导数，而且对以任意点为中心，以任意正数为半径的上半球面 恒有 求证: construction work area in the form of conference reviews. 2 review program review date is determined by the project manager; According to the project manager of project quality control Department requires preparation of a management plan, representative of the management audit of the project, approved by the project manager; Review Project Office issued notices of meetings; Project manager facilitates the review meeting, scheduled content under review; Quality control Department is responsible for the records, the preparation of the review report and corrective action plan, representative of the management audit of the project, approved by the project manager; Quality control Department is responsible for the preparation of records and reports the distribution list, or publish to the Internet by engineering p