1997—2008华东师范大学数学分析历年真题.doc

1997—2008华东师范大学数学分析考研真题 华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题 一（12分）设f(x)是区间I上的连续函数。证明：若f(x)为一一映射，则f(x)在区间I上严格单调。 二（12分）设 证明：若f(x), D(x)f(x) 在点x=0处都可导，且f(0)=0,则 三（16分）考察函数f(x)=xlnx 的凸性，并由此证明不等式： 四（16分）设级数收敛，试就为正项级数和一般项级数两种情况分别证明也收敛。 五（20分）设方程满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数y=f(x)。又设具有连续的二阶偏导数。 求 若为f(x)的一个极值，试证明： 当与同号时，为极大值； 当与异号时，为极小值。 对方程，在隐函数形式下（不解出y）求y=f(x)的极值，并用（2）的结论判别极大或极小。 六（12分）改变累次积分 的积分次序，并求其值。 七（12分）计算曲面积分其中s为锥面上介于的一块，为s的下侧法向的方向余弦。； ； 计算 二（12分）设f(x)有连续的二阶导函数，且求f(0). 三（20分） （1）已知为发散的一般项级数，试证明也是发散级数。 （2）证明在上处处收敛，而不一致收敛。 四（12分）设其中f为连续函数，f(1)=1.证明 五（12分）设D为由两抛物线与所围成的闭域。试在D内求一椭圆，使其面积为最大。 六（12分）设有连续二阶偏导数，有连续一阶偏导数，且满足证明： 七（12分）设为的周期函数，其周期可小于任意小的正数。证明若在上连续，则常数。 华东师范大学1999年攻读硕士学位研究生入学试题 一．设 ，， 证明：收敛，并求其极限。 二.证明：若函数在区间I上处处连续，且为一一映射，则在I上为严格单调. 三.用条件极值的方法证明不等式： 四.设在上可导，且，证明在上不一致连续。 五.设在上二阶可导，且，，证明：. 六.设在上有二阶连续偏导数。 通过计算验证： 利用（1）证明：. 七.设对每个在上有界，且当时，证明： 在上有界； , 八．设为S的内点，为S的外点，证明：直线段至少与S的边界有一个交点。 华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题 一．（24分）计算题： （1） （2） （3）设是由方程 ,所确定的可微隐函数，试求Z. 二．（14分）证明：（1）为递推数列； （2），n=1,2,…. 三．（12分）设在中任意两点之间都具有介值性，而且在内可导，（正常数）, 证明在点a右连续（同理在点b左连续）. 四．（14分）设证明: （1）,n=2,3…; （2）n=1,2,3…. 五（12分）设S为一旋转曲面，由平面光滑曲线饶轴旋转而成。试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S的面积公式为 （提示：据空间解几知道S的方程为）,求。 设收敛，证明: 设为上的连续函数序列，且 证明：若在上无零点。则当充分大时在上也无零点，并有 华东师范大学2001年攻读硕士学位研究生入学试题 一．（30分）简单计算题. 1）验证：当时，与为等价无穷大量. 2）求不定积分。 3）求曲线积分: 其中有向曲线如图所示. 4）设为可微函数， 和方程 试对以下两种情形，分别求在点处的值： （1）由方程确定了隐函数: （2）由方程确定了隐函数: 二.（12分）求由椭球面与锥面所围立体的体积。 三.（12分）证明：若函数在有限区间内可导，但无界，则其导函数在内亦必有界. 四.（12分）证明：若绝对收敛，则亦必绝对收敛. 五（17分）设在上连续， 证明： 1）在上不一致收敛； 2）在上一致收敛。 六（17分）设函数在闭区间上无界,证明： 1）使；； 2）使得：在上无界。（若能用两种不同方法证得2），奖励5分） 华东师范大学2002年攻读硕士学位研究生入学试题 一.（12分）计算： 1.； 2. 3.设F为上的可微函数，由方程确定了为与的函数，求在点的值. 二.（15分）设函数均在内有连续导数，且对于任何，有，求证： 1.不可能有相同的零点； 2.的相邻点之间必有的零点； 3.在的每个极值点，存在的某邻域，使得在该邻域中是严格单调的. 三.（15分）设初始值给定，用递推公式得到数列。 1.求证数列收敛； 2.求所有可能的极限值； 3.试将实数轴R分成若干个小区间，使得当且仅当在同一区间取初始值，都收敛于相同的极限值. 四.（12分）设，求椭球体的表面积. 五.（18分）设数列有界但不收敛，求证： 1.对于任何收敛； 2.对于任何在上一致收敛； 3.在上不一致收敛. 六.（12分）设函数在上连续，求证： 。 七.（16分）设函数在上严格递增，且有连续导数，设是的反函数，求证： 1