华东师范大学2000年数学分析试题解答.doc

华东师大2000年数学分析试题 一、（24分）计算题： 求； 求 设是由方程所确定的可微隐函数，试求grad z。 二、（14分）证明： （1）为递减数列： （2） 三、（12分）设f(x)在中任意两点之间都具有介质性，而且f在（a，b）内可导， （K为正常数）， 证明：f 在点a右连续，在点b左连续。 四、（14分）设，证明： 五、（12分）设S为一旋转曲面，它由光滑曲线段 绕x轴曲线旋转而成，试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S的面积公式为： 六、（24分）级数问题： 设,求 设收敛，，证明：。 设为上的连续函数序列，且，，证明：若在上无零点，则当n充分大时，在上也无零点；并有，。 华东师范大学2000年数学分析解答 tangshan0315 一、 ⑴ ⑵ = = = ⑶ 二、 ⑴欲证，即 因此，令。由 ， 即得 =。 ⑵由⑴与为递增数列，得到 。 三、证明 ： ，当时，若，则在右连续。 否则，，使 （不妨设）。 满足： ，。 由介值性，，使。于是对于一切，有 = 所以在点右连续。同理可证在左连续。 四、 ⑴证明： 因为 ， 所以有 ⑵由⑴， = ， 五、证明： ，取其上半部分 ，。 由 ，得 ， 根据计算曲面面积的二重积分公式，有 因其中 ， 于是得： 。 六、 ⑴解： 由，得到 。 再由泰勒系数公式，得到 ， 于是求得。 ⑵设与的部分和分别记做与。则有 由于都存在，因此 ， 即。 ⑶因为为连续函数序列，一致收敛于，，故在上连续。又因为，所以 ， 取，，当时，对一切，都有 ， 。 由此可见，当时，都无零点。 又因为，故由 ， ，对上述，存在，当 时，有 。 于是当时，满足 ，。