调和平均数.doc

调和平均数 调和平均数公式a=2a1a2/ (a1+ a2) 小王登山,上山的速度是每小时4km，到达山顶后返回，速度为每小时6km，设山路长为9km，小王的平均速度为（ A ）km/h。 A.4.8 B.5 C.4.4 D.4.6 地铁检修车 沿地铁线路匀速前进，每6分钟有一列地铁从后面追上，每2分钟有一列地铁迎面开来。假设两个方向的发车间隔和列车速度相同，则发车间隔是（ B ）。 A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟 调和平均数 假设检修车速度为x，地铁列车速度为y。由于列车发车间隔时间相等，连续两辆列车之间的距离相等。“每六分钟有一列地铁从后面追上”说明连续两列车之间的距离是6×（y－x），“每2分钟有一列地铁迎面开来”说明连续两列车之间的距离是2×（y＋x）。6×（y－x）＝2×（y＋x），可得：y＝2x。连续两列车之间的距离是2×（y＋x）＝6x，发车时间是6x÷y＝3（分钟） 　　在平均数问题中，主要是有这种平均数的形式，一是算术平均数(总和/个数)，二是调和平均数2A1A2/A1+A2,三是几何平均数是AB开平方 。这三种类型的平均数都是用来描述整体的平均水平的，算术平均数比较简单，单纯地考算术平均数的题已经越来越少，它主要是和数列题型紧密地联系在一起。几何平均数在考试中又不常见，因为如果把它研究透，需要掌握数学专业方面的知识。所以，综合来看并结合最近几年的命题趋势，调和平均数是考试比较愿意考的题型。下面就调和平均数问题来做探讨： 　　调和平均数是平均数的一种表达形式，它使用的前提是总量相等。而这个“总量”指的是在三个量A，B，C中，如果B=A×C，我们就可以把B当做“总量”，比如在行程问题中，B就相当于距离(距离=速度×时间);在溶液问题中，B就相当于溶质(溶质=溶液×浓度)。总量的相等是我们应用调和平均数的前提，而这一点也是很多考生在使用调和平均数时所容易忽略的。此外，在调和平均数的题型中，虽然总量B相等，但是题干会告诉我们两个量A1和A2,而这两个量的涵义就相当于告诉我们两个速度或增长率，然后让我们求平均速度和平均的增长率。凡是总量相等，我们求其平均速度或平均增长率都用调和平均数的公式来求2A1A2/A1+A2，调和平均数的实质就是将个数除以数值倒数的总和就是调和平均数。那么这种题型主要应用于等距离平均速度，等溶质增减溶剂和等发车前后过车问题。 方法/步骤 　　一、等距离平均速度问题 　　1.(湖南2009)小王登山，上山的速度是每小时4 km，到达山顶后原路返回，速度为每小时6 km。设山路长为9 km，小王的平均速度为( )km/h。 　　A.5　　B.4.8　　C.4.6　　D. 4.4 　　【答案】B 　　【解析】因为本题已经告知小王上下山的距离相等，而且速度又是不同的，我们又知道距离等于速度乘以时间，所以这道题实际告诉我们总量相等，满足调和平均数的使用的前提，那么，平均速度就可以直接利用公式2×4×6/4+6求出平均速度就是4.8，正确答案为B。 2 　　二、等溶质增减溶剂问题 　　2.(国家2009)一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度变为10%，再蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度变为12%，第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少? 　　A.14%　　B.17%　　C.16%　　D.15% 　　【答案】D 　　【解析】本题是溶液问题，在溶液蒸发的过程中，溶质质量是不变的，而溶质我们又知道它等于浓度×溶液，所以本题间接告诉我们总量相等，那么可以用调和平均数求最后的浓度。但是这类题比较特殊;第二次蒸发完以后的浓度12%是调和平均数，那么12%=2·10%·X/10%+X,可以求出最后的浓度是15%。正确答案为D。 　　三、等发车前后过车问题 　　3. 小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔9分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔4.5分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问：该路公共汽车每隔多少分钟发一次车? ( ) 　　A.5　　B.6　　C.7　　D.8 　　【答案】B 【解析】本题是等发车前后过车问题。因为公交车的速度不变，距离也不变，那么公交车走这段距离的时间就是固定的，而这个时间就等于发车间隔时间×发车次数，所以这个时间就是总量，总量既然不变，求发车间隔就可以用公式来求2×9×4.5/9+4.5=6.正确答案为B。 某人沿电车线路匀速行走，每15分钟有一辆电车从后面追上，每10分钟有一辆电车迎面开来，假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔。（） A.11 B.14 C.13 D.12 解：设每隔 t1分钟就遇到迎面开来的一辆电车，每