专题04 二元一次方程组一元二次方程（7类中考高频题型归纳与训练）（解析版）.docx
专题04二元一次方程组一元二次方程
课标要求
考点
考向
1．能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程。
2．掌握消元法，能解二元一次方程组。
3．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的
一元二次方程。
4．会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根
是否相等。
5．了解一元二次方程的根与系数的关系。
6．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
二元一次方程组的应用
考向一由实际问题抽象二元一次方程组
考向二二元一次方程组的实际应用
一元二次方程
考向一根的判别式
考向二利用根与系数的关系求代数式的值
考向三利用根与系数的关系求字母的值
考向四根的判定式与根与系数的关系的综合运用
考向五一元二次方程的实际应用
考点一二元一次方程组的实际应用
?考向一由实际问题抽象二元一次方程组
1．（2024?湖北）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（）
A．5x+2y=102
C．5x+5y=10
【分析】因为每头牛值金x两，每头羊值金y两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：根据题意得：5x
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．（2023?荆州）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（）
A．y=x+4.50.5y
C．y=x+4.5y
【分析】根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，所列方程组为：y=
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（2022?武汉）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，
∴最左下角的数为：6+20﹣22＝4，
∴最中间的数为：x+6﹣4＝x+2，或x+6+20﹣22﹣y＝x﹣y+4，
最右下角的数为：6+20﹣（x+2）＝24﹣x，或x+6﹣y＝x﹣y+6，
∴x+2=
解得：x=10
∴x+y＝12，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
?考向二二元一次方程组的实际应用
解题技巧
1、列方程组解决实际问题是把“未知”化为“已知”的过程，其关键是把已知量和未知量联系起来，找出题中的等量关系，列出方程组.
2、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审：审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设：设元，找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）找：找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系．
（4）列：根据等量关系，列出方程组．
（5）解：解方程组，求出未知数的值．
（6）答：检验所求解是否符合实际意义，然后作答．
4．（2022?宜昌）五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为（）
A．30 B．26 C．24 D．22
【分析】设1艘大船可载x人，1艘小船可载y人，依题意：1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．列出二元一次方程组，求出x+y的值即可．
【解答】解：设1艘大船可载x人，1艘小船可载y