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高中数学概率统计知识点总结 1. 随机变量的期望值 若随机变量 X 的概率分布如下表： X x1 x2 … xk … xn pX p1 p2 … pk … pn 则随机变量 X 的期望值为 E（X）＝＝x1?p1＋x2?p2＋…＋xn?pn。 2. 一组数据的变异数与标准差 若一组数据 x1，x2，…，xn 的平均数为 μ，则这组数据的 (1) 变异数为 σ2＝（（x1－μ）2＋（x2－μ）2＋…＋（xn－μ）2）＝。 (2) 标准差为 σ＝。 3. 随机变量的变异数与标准差 若随机变量 X 的概率分布如下表： X x1 x2 … xk … xn pX p1 p2 … pk … pn 则随机变量 X 的 (1) 变异数为 Var（X）＝＝E（X2）－（E（X））2。 (2) 标准差为。 4. 三事件为独立事件 当三事件 A，B，C 同时满足下列四项条件： (1) P（A∩B）＝P（A）P（B）， (2) P（B∩C）＝P（B）P（C）， (3) P（A∩C）＝P（A）P（C）， (4) P（A∩B∩C）＝P（A）P（B）P（C）。 称 A，B，C 三事件为独立事件。 5. 独立重复试验的概率 假设一白努利试验成功的概率为 p。则独立重复试验 n 次中，恰出现 k 次成功的概率为 pk（1－p）n－k。 6. 二项分布 假设白努利试验成功的概率为 p，失败的概率为 q＝1－p，其中 p ≥ 0，q ≥ 0。令随机变量 X 的取值表示此试验独立重复试验 n 次中成功的次数，则 X 的概率质量函数为 P（X＝k）＝pkqn－k，k＝0，1，…，n。 此随机变量 X 的概率分布称为二项分布，记为 B（n，p）。 7. 二项分布的期望值、变异数、标准差 设随机变量 X 的概率分布为二项分布 B（n，p），则随机变量 X 的 (1) 期望值为 E（X）＝np。 (2) 变异数为 Var（X）＝npq。（q＝1－p） (3) 标准差为。（q＝1－p） 8. 简单随机抽样 从元素个数为 N 的母体中选取 n 个作为样本，若在抽样的过程中每种组合被选取的机会相等，则称这种抽样方法叫做简单随机抽样。 9. 常态分布 68－95－99.7 经验法则 任何平均数为 μ、标准差为 σ 的常态分布曲线中， (1) 约有 68 %的资料介于区间 [ μ－σ，μ＋σ ] 内，如图(a)。 (2) 约有 95 %的资料介于区间 [ μ－2σ，μ＋2σ ] 内，如图(b)。 (3) 约有 99.7 %的资料介于区间 [ μ－3σ，μ＋3σ ] 内，如图(c)。 　　 图(a)　　　　　　　　　图(b)　　　　　　　　　图(c) 10. 95 %信赖区间与信心水平 我们的研究对象是母体的某一特征，假设 p 表示母体中具有此一特征所占的比例。今从母体中随机选取 n 个为样本（n 够大），若表示样本中具有此一特征所占的比例，则 (1) 区间称为 p 的一个「95 %的信赖区间」，或「在 95 %信心水平下的信赖区间」。 (2) 称为此信赖区间的「抽样误差」。 数学家小传 皮尔森 Karl Pearson 1857～1936 　　英国统计学家，对现代统计学有重大贡献。皮尔森于 1879 年自剑桥大学数学系毕业后，曾经从事律师的工作，但后来他进入伦敦大学学院任教，直到 1933 年退休为止。 　　皮尔森最重要的贡献，是为现代统计学打下基础。十九世纪之前，统计学主要是从概率学的角度，来预测事件发生与否；皮尔森引入了「抽样」的概念，利用抽样的方法推测母群体的整体表现，进而影响相关决策的制定。当时皮尔森主要是将统计学应用在遗传学上面，研究生物在演化的过程中是否成功地将某些特征传给后代。统计学上常用的「标准差」，就是由他提出订定的。 　　时至今日，统计学的概念，已是现代人工作判断时不可或缺的工具。举凡民意调查、抽样检定、人口普查等等，都利用了统计学的理论，来分析搜集来的资料所代表的意义。皮尔森将统计以科学方法来研究，对于今天我们面对大量讯息时，从中能撷取有用的信息，提供了重要的理论基础。