高中数学1-3-3函数的最大(小)值与导数.ppt

法二　转化为求f1(x)＝x3－6x2＋9x与f2(x)＝4图象交点的个数问题． 由f1(x)＝x3－6x2＋9x， ∴f′1(x)＝3x2－12x＋9. 令f′1(x)＝0得x＝3或x＝1. 当x变化时，f′1(x)，f1(x)随x变化情况如下表： x (－∞，1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞) f′1(x) ＋ 0 － 0 ＋ f1(x)  极大值4  极小值0  又当x→＋∞时， f1(x)→＋∞， 当x→－∞时， f1(x)→－∞. 故f1(x)与f2(x)的图象大致如图所示． 由此知y＝f1(x)，y＝f2(x)有两个交点，故方程x3－6x2＋9x－4＝0的根的个数有2个． 课堂讲练互动 课前探究学习 1．3.3　函数的最大(小)值与导数 【课标要求】 1．能够区分极值与最值两个不同的概念． 2．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 【核心扫描】 1．利用导数求给定区间上函数的最大值与最小值．(重点) 2．常与函数的单调性、参数的讨论等知识结合命题． 自学导引 1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得． 想一想：在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？ 提示　一定有最值，但不一定有极值．如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a，b]上有极值． 2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的 ； (2)将函数y＝f(x)的 与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 极值 各极值 端点处的函数值 想一想：极值和最值的区别与联系？ 提示　(1)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值． (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值至多只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． (3)若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值． (4)开区间(a，b)上连续函数y＝f(x)的最值的几种情况 图(1)中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上有最大值无最小值； 图(2)中的函数y＝f(x)在开区间(a，b) 上有最小值无最大值； 图(3)中的函数y＝f(x)在开区间(a，b) 上既无最大值也无最小值； 图(4)中的函数y＝f(x)在开区间(a，b)上既有最大值又有最小值． 题型一　求函数在闭区间上的最值 【例1】 求下列各函数的最值： (1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]； (2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]． [思路探索] 先求f′(x)，再令f′(x)＝0得到相应的x的值，通过列表，确定出极值点，求极值与端点值，从而比较大小确定最值． 解　(1)f′(x)＝－4x3＋4x， 令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝－1，x＝0，x＝1. 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表： x －3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 － f(x) －60  极大值4 极小值3 极大 值4 －5 ∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60； 当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4. (2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0， ∴f′(x)在[－1,1]上为增函数． 故x＝－1时，f(x)最小值＝－12； x＝1时，f(x)最大值＝2. 即f(x)的最小值为－12，最大值为2 求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点： (1)对函数进行准确求导； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值． (3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作