最小多项式.doc

第 62、63 讲 §8 最小多项式 教学目的和要求 1 理解矩阵或有限维空间上线性变换的最小多项式的定义及其唯一性，熟练掌握求最小多项式的两种基本方法； 2 了解最小多项式在矩阵理论上的初步应用，会仿照定理2的证明方法证明每个有限维线性空间均可按线性变换的零化多项式的标准分解式作直和分解。 重 点 最小多项式及其求法。 难 点 最小多项式的应用。 教 学 过 程 定义1 设方阵，我们称中能使的次数最低的首一多项式为的最小多项式。 注意 最小多项式一定不是零多项式，也不是零次多项式，它的次数至少在一次及其以上。 我们把最小多项式的性质列为下述七个引理。 引理1 的最小多项式是唯一的。 证明 设和都是的最小多项式，由带余除法得 ，其中或. 我们说，即.否则由得，这与是的最小多项式矛盾。因此. 同理可证. 所以. ▎ 用同样的方法可证，当时，的最小多项式.于是得 引理2 设是的最小多项式，则. ▎ 由定理又得 引理3 的最小多项式是它的特征多项式的一个因式。▎ 引理4 的最小多项式与它的特征多项式在中有相同的根（重数可能不同）。 证明 由引理3知，在中的根一定是的根。下面证明在中的任一个根也一定是在中的根： 设是的属于的特征向量，则它也是的属于特征值的特征向量，由得 . 因为,所以，即也一定是在中的根。▌ 求最小多项式的方法1： （1）先将的特征多项式在中作标准分解，找到中的全部特征值； （2）对的标准分解式中含有的因式按次数从低到高的顺序进行检测，第一个能零化的多项式就是最小多项式。 例1 零方阵的最小多项式是；数量矩阵的最小多项式是，从而单位矩阵的最小多项式是. 例2 求的最小多项式。 解 的特征多项式，特征值只有，的含有的因式有： . 经检验，，，所以的最小多项式是. 引理5 相似的方阵阵具有相同的最小多项式。 证明 设，则对于任何多项式有 ，由此得 ： . 由引理2知的最小多项式互相整除，它们是相等的。▎ 但是，本性质的逆命题不成立（请看例3）. 由本引理知，给定有限维线性空间的一个线性变换A，则A在任何一组基下的矩阵的最小多项式都相同，因此我们也可以称这个多项式为A的最小多项式。 引理6 准对角矩阵的最小多项式等于的最小多项式与的最小多项式的最小公倍式 。 证明 根据和知，有 （1） 由和引理2得 ，即是的零化多项式。 下面只要证明对的任一个零化多项式有就可断定是的最小多项式。 事实上，由（1）得，再由性质2得，即是与的一个公倍式。而是与的最小公倍式，所以。▎ 本性质的结论可以进一步推广： 准对角矩阵的最小多项式是， 其中是的最小多项式,. 引理7 级若尔当块的最小多项式就是它的特征多项式，也是它的初等因子. 证明 的特征多项式为，以特征值为根的因式有： . ，，. 将上述结果与定理相结合知，的最小多项式是. ▎ 例3 证明与的最小多项式相同，但两矩阵不相似。 证明 这两个矩阵都是若尔当矩阵： ， . 由引理6和引理7得它们的最小多项式分别是： ， . 但与的特征多项式不相等，因而两矩阵不相似。 定理1 （求最小多项式的方法2）设是级复数矩阵，则的最小多项式是的最后一个不变因子. 证明 由引理5，的最小多项式等于它的若尔当标准形的最小多项式，由引理6和引理7，是各若尔当块的初等因子（即的初等因子组）的最小公倍式，这恰好等于从各组同底初等因子中取出次数最高的一个作乘积的结果，根据用初等因子组确定不变因子的方法知. ▎ 例4 设矩阵的特征多项式是，最小多项式是，试求的若尔当标准形。 解 依题意的最后一个不变因子为，由此得到的两个初等因子和，再由的特征多项式是知是级矩阵,它还有两个初等因子和，所以的若当标准形是 . 作业：红皮书1、3. 定理2 数域上级矩阵与对角矩阵相似（即可对角化）的充要条件是它的最小多项式是一些互素的一次因式的乘积： . 证明 由引理5和引理6，必要性是显然的。下证充分性： 设是数域上某线性空间的线性变换A在一组基下的矩阵，则线性变换A在该组基下的矩阵，所以AO . 用表示从中去掉因式后得到的多项式，表示线性变换AE的核，即AE，则AEAAO，所以 A，. 因为A与AE可交换，所以是A 子空间，下面证明 . 首先证明 ： 因为的子空间的和还是的子空间，所以只要证明就行了。 因为，所以存在多项式使 ，从而 AAAAE， 于是有 AAAA， 其中AA，. 因为A与A可交换，所以A的值域A是A的不变子空间，因此 AAA， . 这就证明了. 其次证明是直和：设 ,