多项式插值与最小二乘拟合.ppt

NumericalAnalysisJ.G.LiuSchoolofMath.Phys.NorthChinaElec.P.U.NumericalAnalysisJ.G.LiuSchoolofMath.Phys.NorthChinaElec.P.U.插值与逼近*在科学与工程等实际问题中，其数据模型（由实验或测量所得到的一批离散数据）容易得到。那么，能否通过处理这些数据来建立连续模型呢？从而可以对模型有更全面的认识！下面我们以一维的问题来说明，假设已经得到的离散数据模型(xi互异)根据寻找策略的不同，我们有插值问题和最佳平方逼近问题。为了得到的更多信息，我们首先要确定一个函数空间，在该函数空间中寻找的近似函数。引言若要求满足*则相应的问题称为插值问题，上述条件称为插值条件，——插值节点；则相应的问题称为离散型最佳平方逼近问题（最小二乘问题）。我们还可以定义对函数的连续型最佳平方逼近问题！p(x)——插值函数，若要求使得预备知识*定义1：设函数组，若向量组线性无关，则称在点集上线性无关。定义2：设函数组，在[a,b]上连续，若存在不全为零的数使得则称在[a,b]上线性相关，否则，称为线性无关。若中，任何有限个函数在[a,b]上线性无关，则称为[a,b]上的线性无关函数系。0102代数(多项式)插值问题最小二乘拟合问题0102概述；拉格朗日插值；分段插值03返回代数(多项式)插值问题*1代数插值概述取函数空间为不超过n阶的多项式集合，这样的插值问题称为代数(多项式)插值问题，即求，使得如下插值条件成立——插值多项式定理1插值多项式存在并且唯一。证：存在性，有唯一解！即n+1个插值条件可以唯一的确定一个不超过n阶的插值多项式！唯一性，（利用n阶多项式在复数域内至多有n个零点可证！）*显然以作为在插值点处的近似值是有误差的，记证：不妨设，做函数（多项式插值余项定理）定理2设在上连续，在内存在，则，有其中且依赖于，——插值余项。*由罗尔定理可知，在(a,b)内至少有一个零点，记作，即得证！#其中且依赖于，注：(1)(2)在实际计算时插值节点应尽量选在插值点x的附近，以使尽可能小！(3)对于不超过n次的多项式，其n阶插值多项式就是其本身！返回2拉格朗日(Lagrange)插值*定义：设n次多项式lj(x)满足则称之为拉格朗日插值基函数。利用待定系数法可得从而可得满足插值条件的插值多项式——拉格朗日插值多项式显然，