概率统计与随机过程第一章(第二节)古典概率.doc

随机事件的概率 概率的定义及性质 内容、目的 古典概率的定义与计算； 几何概率的定义与计算； 概率的公理化定义； 概率性质与计算公式。 认识随机现象的概率观点。 概率的实践验证实例。 概率概念的来源： 所谓随机事件的概率,概括地说就是用来描述随机事件出现（或发生）的可能性大小的数量指标. 其实概率的思想术语在我们日常生活中经常出现.对未来的不确定事件,我们经说有把握、希望、机会有多大,高考上线率,各种升学率等. 概率论与数理统计是研随机现象及其规律性的一门学科。 到目前为至，人们已发现了许多规律性了。 数学上只能对简单的随机现象进行概率定义,复杂的随机现象有待于研究. 随机事件在一次试验中既可能发生，也可能不发生，似乎无什么规律。 如果在相同的条件下，把一个试验重复做许多次，我们一定会发现，某些事件发生的次数多一些，而另一些事件发生的次数少一些。表现出一定的规律性。例如买彩票时投注号码，有极少一部分人能预感到中奖号码的规律。 例如，将一颗骰子重复投掷100次，毫无疑问，事件“出现奇数点”比事件“出现1点”发生的次数会多得多。那么，发生次数多的事件在每次试验中发生的可能性大一些，而发生次数少的事件在每次试验中发生的可能性小一些。 问题是：如何度量事件发生可能性的大小？ 对于事件，如果实数满足：（1）数的大小表示事件发生可能性的大小； （2）是事件所固有的，不随人们主观意志而改变的一种度量。 那么数称为事件的概率。它是事件发生可能性的度量。 在本节中，我们首先介绍一类最简单的概率模型，然后逐步引出概率的一般定义。 概率的古典定义 古典型随机试验: 如果试验的样本空间只包含有限个基本事件， 设， 并且每个基本事件发生的可能性相等，即，则称这种试验为古典型随机试验，简称古典概型。 下面我们来讨论古典概型中事件的概率。 考虑一个具体的例子：投掷一颗匀称的骰子，观察其出现的点数。 易知 , 其中表示出现点,。 由于骰子是匀称的，所以每个基本事件发生的可能性相同。这是个古典概型。 考虑事件。因为事件包含的基本事件的个数等于基本事件总数的一半，并且每个基本事件发生的可能性都相等，因此事件发生的可能性，即概率规定为是合理的。 ，它恰好是包含的基本事件的个数除以基本事件总数所得的结果。 古典概率的定义和计算公式: 定义2：设试验的样本空间，并且每个基本事件发生的可能性相等， 即， 中事件包含个基本事件， 则称 , 为事件的概率。 即事件的概率等于事件所包含的基本事件的个数(它们的出现对的出现有利,因此习惯上称为的有利事件,或有利场合)与基本事件总数之比值。 概率的这种定义称为概率的古典定义。这样定义的概率称为古典概率。 由概率的古典定义，容易证明古典概率具有下列性质： (1)对任意事件； (2)； (3)若事件互不相容，则 ; (4) , . 证：(1)因为任一事件所包含的基本事件数恒满足，故 ; (2)由于必然事件包含了全部个基本事件，所以 ; (3)设事件含有个基本事件，由定义得 , , 由于互不相容， 故含有个不同的基本事件， 因此 , 性质（3）称为概率的有限可加性。 (4)因为与互不相容, 且, , 所以 , . 几个记号的规定: 排列数记号, 全排列数记号 , 组合数记号 . 求解古典概型问题的关键是弄清楚样本空间中的基本事件的总数和对所求概率事件有利的基本事件个数. 在弄清楚基本事件个数的时侯,必须分清楚所研究的问题是组合问题还是排列问题. 先掌握以下关于排列组合的知识. 乘法原理 设完成一件事有个步骤,第一步有种方法, 第二步有种方法,…, 第步有种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事,则完成这件事共有种方法. 加法原理 设完成一件事有类方法,每类分别有种方法,而完成这件事只需一种方法,则完成这件事可以有种方法. 不同元素的选排列 从个不同的元素中,无放回地取出个元素排成一列,称为从个不同的元素中取个元素的选排列,共有(或)种. 当时,称个不同的元素的全排列,共有 种. 不同元素的重复排列 从个不同的元素中,有放回地取出个元素排成一列,称为重复排列,共有种. 组合 从个不同的元素中取出()个元素组成一组(而不考虑元素间的次序),称为一个组合,共有种.且 , . 不全相异元素的排列 在个元素中,有类不同元素,每类各有个,将这个元素排成一列,共有 种. 7.个不同元素分为组,各组元素数目分别为的分法总数为 ,, 因为 , (个组之间分顺序). 如果个组之间不分次序, 则总数为 . 8.环排列 从个不同的元素中,选出个不同元素排成一个圆圈,称为环排列,共有 种. 古典概率计算举例 例1、 一盒内装有5个红球，3个白球。从中任取两个，试求（1）取到